Mostre que, se a e \lambda são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
y^{\prime}+a y=b e^{-\lambda t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + a\,y = b\,e^{-\lambda t},
onde a>0, \lambda>0 e b\in\mathbb{R} são constantes.
O conteúdo principal aqui é a técnica de fator integrante para equações lineares da forma
y' + p(t)\,y = q(t).

Passo 2

Identificamos p(t)=a (constante) e q(t)=b\,e^{-\lambda t}.
O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\bigl(\int a\,dt\bigr) = e^{a t}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial por \mu(t)=e^{a t}, obtendo
e^{a t}y' + a\,e^{a t}y = b\,e^{a t}e^{-\lambda t} = b\,e^{(a-\lambda)t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{a t}y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(e^{a t}y\bigr) = e^{a t}y' + a\,e^{a t}y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(e^{a t}y\bigr) = b\,e^{(a-\lambda)t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t.
Caso a \neq \lambda:
e^{a t}y = \int b\,e^{(a-\lambda)t}\,dt + C = \frac{b}{a-\lambda}\,e^{(a-\lambda)t} + C,
onde C é constante de integração. Dividindo por e^{a t},
y(t) = \frac{b}{a-\lambda}\,e^{-\lambda t} + C\,e^{-a t}.
Caso a = \lambda:
e^{a t}y = \int b\,e^{0\cdot t}\,dt + C = b\,t + C,
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y(t) = \bigl(b\,t + C\bigr)\,e^{-a t}.

Resposta

Para a \neq \lambda, a solução geral é
y(t) = \frac{b}{a-\lambda}\,e^{-\lambda t} + C\,e^{-a t},
e para a = \lambda, a solução geral é
y(t) = \bigl(b\,t + C\bigr)\,e^{-a t},
com C constante arbitrária.

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