Verifique se f(x) é contínua em x=1. Faça o esboço de f(x).
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2-x^{2}, x<1 \\\\ 1-|2 x|, x>1 \\\\ 1, x=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2 - x^{2}, & x<1,\\\\ 1, & x=1,\\\\ 1 - |2x|, & x>1, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=1 e fazer o esboço do gráfico. Vamos usar limites laterais e a definição de continuidade em ponto.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda em x=1. Como para x<1 vale f(x)=2-x^{2}, temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2-x^{2})=2-1=1.

Passo 3

Calcular o limite pela direita em x=1. Para x>1 temos |2x|=2x, logo f(x)=1-2x. Assim
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(1-2x)=1-2\cdot1=-1.

Passo 4

Comparar os limites laterais com o valor de f(1). Temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=1,
\lim_{x\to1^+}f(x)=-1 e
f(1)=1.
Como \lim_{x\to1^-}f(x)\neq\lim_{x\to1^+}f(x), a função não é contínua em x=1.

Passo 5

Esboço do gráfico de f(x):
– Para x<1, é a parábola y=2-x^{2}, com ponto aberto em (1,1).
– Em x=1, há um ponto isolado em (1,1).
– Para x>1, é a reta y=1-2x, com ponto aberto em (1,-1) e seguindo decrescendo linearmente.

Resposta

f não é contínua em x=1, pois
\lim_{x\to1^-}f(x)=1\neq -1=\lim_{x\to1^+}f(x).
O gráfico é a parábola y=2-x^{2} para x<1 (aberta em (1,1)), o ponto isolado (1,1) e a reta y=1-2x para x>1 (aberta em (1,-1)).

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