Utilize coordenadas esféricas para calcular
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-\mu^{2}-y^{2}}} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x
(Faça o esboço do domínio)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dz\,dy\,dx
usando coordenadas esféricas. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais triplas, e vamos precisar do jacobiano esférico e dos limites em (\rho,\varphi,\theta).

Passo 2

A região de integração é
D=\{(x,y,z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1,\;z\ge0\},
ou seja, o hemisfério superior de raio 1. (Esboço mental: uma semi-esfera voltada para cima.)

Passo 3

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com
0\le\rho\le1,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le\theta\le2\pi.
O jacobiano é \rho^{2}\sin\varphi, e o integrando vira
x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =(\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}\cdot\rho =\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta.
Multiplicando pelo jacobiano obtemos o integrando esférico
\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta\;\rho^{2}\sin\varphi =\rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos^{2}\theta.

Passo 4

A integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} \rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos^{2}\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \Bigl[\int_{0}^{1}\rho^{5}d\rho\Bigr] \Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\Bigr] \Bigl[\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr].
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{1}\rho^{5}d\rho=\frac{1}{6},\qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\frac{2}{3},\qquad \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi.
Multiplicando dá
\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}\cdot\pi=\frac{\pi}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{9}.

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