Uma região sólida é limitada por 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 3,0 \leqslant z \leqslant 1 e tem densidade \rho(x, y, z)=z. Calcule a massa total do sólido e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado dá uma região sólida retangular e uma densidade variável. As perguntas são:
  • Calcular a massa total do sólido.
  • Interpretar o resultado obtido.
As informações fornecidas são:
0 \leqslant x \leqslant 2,\quad 0 \leqslant y \leqslant 3,\quad 0 \leqslant z \leqslant 1
e a densidade volumétrica é
\rho(x,y,z)=z.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): a massa total de um corpo com densidade volumétrica \rho(x,y,z) é a soma (integral) de todos os pedacinhos de massa dm. Um pedacinho de volume vale dV e tem massa
dm=\rho(x,y,z)\,dV.
Para um sólido, a massa total é o integral triplo
M=\iiint_{\text{região}} \rho(x,y,z)\,dV.ã
Aqui dV é o elemento de volume; no sistema cartesiano usamos dV=dx\,dy\,dz. A ordem de integração pode ser escolhida; pelo Teorema de Fubini podemos separar as integrais se os limites forem constantes, como é o caso.

Passo 3

Montamos o integral com os limites dados pelo enunciado. Escolho integrar primeiro em z, depois em x e y (qualquer ordem funciona porque os limites são constantes):
M=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3}\int_{z=0}^{1} z\,dz\,dy\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • M é a massa total.
  • z é a função densidade \rho(x,y,z).
  • Os integrais aninhados somam os contributions de todos os pontos do sólido.

Passo 4

Calculo da integral interna em z. Esta é uma integral simples de uma função polinomial:
\int_{z=0}^{1} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Explanação: integração de z produz \tfrac{z^2}{2}; avalia-se nos limites 0 e 1, resultando em \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora o integral reduz-se a integrar a constante \tfrac{1}{2} sobre a base em x e y:
M=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3} \frac{1}{2}\,dy\,dx.
Integro em y:
\int_{y=0}^{3} \frac{1}{2}\,dy = \frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{3}{2}.
Agora integro em x:
\int_{x=0}^{2} \frac{3}{2}\,dx = \frac{3}{2}\cdot 2 = 3.

Passo 6

Verificação por interpretação física/geométrica (útil na prova): o volume do paralelepípedo é
V = 2\cdot 3\cdot 1 = 6.
Como a densidade depende só de z e varia linearmente de 0 a 1, a densidade média ao longo de z é a média de z em [0,1], que é
\bar{\rho}=\int_{0}^{1} z\,dz = \frac{1}{2}.
Portanto a massa é simplesmente M=V\cdot\bar{\rho}=6\cdot\frac{1}{2}=3, o que coincide com o cálculo explícito. Esta é uma forma rápida de pensar: massa = volume × densidade média quando a densidade depende apenas de uma coordenada.

Passo 7

Interpretação do resultado (linguagem simples e motivadora):
  • O valor M=3 significa que, com a unidade de densidade dada no enunciado, a massa total do sólido é 3 unidades de massa.
  • Como \rho=z, a densidade aumenta com a altura z: camadas mais altas são mais “pesadas”. Mesmo assim, por simetria vertical a densidade média acaba sendo \tfrac{1}{2}.
  • Dica para a prova: quando a densidade depender de apenas uma coordenada e os outros limites forem constantes, pense em volume × densidade média para economizar tempo.

Resposta

3

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