Calcule a integral.
\int \frac{1}{x^{3}-8} d x

Passo 1

Estamos querendo calcular
\int \frac{1}{x^{3}-8}\,dx
Este é um caso de função racional cujo denominador se fatoriza como diferença de cubos. Vamos usar decomposição em frações parciais, completar quadrado e, em seguida, integrar termos logarítmicos e arctangentes.

Passo 2

Fatoramos o denominador pela fórmula de diferença de cubos:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3}=(x-2)\,(x^{2}+2x+4).

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais
\frac{1}{x^{3}-8} =\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^{2}+2x+4), obtemos
1 = A\,(x^{2}+2x+4) + (Bx+C)\,(x-2).

Passo 4

Expandindo e coletando coeficientes de x^{2}\), \(x\) e termo constante, temos \[1 = (A+B)\,x^{2} + (2A -2B +C)\,x + (4A -2C).
Igualando coeficientes a 0 para x^{2} e x, e a 1 para o termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A - 2B + C = 0,\\\\ 4A - 2C = 1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda segue \(4A + C=0, ou C=-4A. Na terceira vem 4A -2(-4A)=12A=1, logo
A=\tfrac{1}{12},\quad B=-\tfrac{1}{12},\quad C=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Logo
\frac{1}{x^{3}-8} =\frac{1/12}{x-2} \;+\;\frac{-\tfrac{1}{12}x-\tfrac{1}{3}}{x^{2}+2x+4}.
Assim
\int \frac{1}{x^{3}-8}\,dx =\frac{1}{12}\int\frac{dx}{x-2} -\frac{1}{12}\int\frac{x\,dx}{x^{2}+2x+4} -\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x^{2}+2x+4}.

Passo 6

Para integrar os dois últimos termos, completamos o quadrado:
x^{2}+2x+4 = (x+1)^{2}+3.
Vemos que
\int\frac{x\,dx}{x^{2}+2x+4} =\int\frac{(x+1)-1}{(x+1)^{2}+3}\,dx =\int\frac{x+1}{(x+1)^{2}+3}\,dx \;-\;\int\frac{dx}{(x+1)^{2}+3}.

Passo 7

Definindo u=x+1, du=dx, temos
\int\frac{u}{u^{2}+3}\,du = \tfrac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+3\bigr), \quad \int\frac{du}{u^{2}+3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{3}}\bigr).
Reunindo tudo:
\int \frac{1}{x^{3}-8}\,dx =\frac{1}{12}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl((x+1)^{2}+3\bigr) -\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{3}}\bigr) +C.
Isto é
\boxed{ \frac{1}{12}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{1}{24}\ln\bigl((x+1)^{2}+3\bigr) -\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\Bigr) + C }.

Resposta

\frac{1}{12}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{1}{24}\ln\bigl((x+1)^{2}+3\bigr) -\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\Bigr) + C.

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