Calcule a integral.
\int \sqrt{x^{2}+2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sqrt{x^{2}+2x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+2x}.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) desta função, mais uma constante de integração.

Passo 2

Primeira ideia: simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado — isso costuma deixar a integral num formato padrão.
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Faça a substituição simples
u = x+1 \qquad\Rightarrow\qquad du = dx.
Com isso a integral fica
\int \sqrt{x^{2}+2x}\,dx = \int \sqrt{u^{2}-1}\,du.
Agora o problema é calcular \int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du com a=1. Vou tratar o caso geral com a>0 e depois aplicar a=1.

Passo 3

Seja
I(u)=\int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du.
Para encontrar I(u) usamos integração por partes. Defina
A(u)=\sqrt{u^{2}-a^{2}}.
Escolhemos integrar por partes com p=A(u) e dq=du. Então q=u e
dp = \frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du = \frac{u}{A(u)}\,du.
A fórmula de integração por partes \int p\,dq = p q - \int q\,dp
I = u A(u) - \int u\cdot\frac{u}{A(u)}\,du = u A(u) - \int \frac{u^{2}}{A(u)}\,du.
Agora escrevemos u^{2}= (u^{2}-a^{2})+a^{2}=A(u)^{2}+a^{2}. Então
\int \frac{u^{2}}{A(u)}\,du = \int \frac{A(u)^{2}}{A(u)}\,du + a^{2}\int \frac{1}{A(u)}\,du = \int A(u)\,du + a^{2}\int \frac{1}{A(u)}\,du.
Lembrando que \int A(u)\,du=I, voltamos à expressão para I:
I = u A(u) - \bigl(I + a^{2}\int \frac{1}{A(u)}\,du\bigr).
Isolando I:
2I = u A(u) - a^{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du.
Portanto
I = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du.

Passo 4

Falta calcular \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du. Uma primitiva conhecida (e fácil de verificar diferenciando) é
\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}\,du = \ln\!\bigl|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr| + C.
Verificação rápida: defina s=\sqrt{u^{2}-a^{2}}. Então
\frac{d}{du}\ln\bigl(u+s\bigr)=\frac{1+\frac{u}{s}}{u+s}=\frac{s+u}{s(u+s)}=\frac{1}{s}=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}.
Assim a fórmula está correta.

Passo 5

Substituindo esse resultado em I obtemos a primitiva geral
\int \sqrt{u^{2}-a^{2}}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2}\ln\!\bigl|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr| + C.
Agora volte à variável original: u=x+1 e a=1. Portanto
\int \sqrt{x^{2}+2x}\,dx = \frac{x+1}{2}\sqrt{(x+1)^{2}-1} - \frac{1}{2}\ln\!\bigl|x+1+\sqrt{(x+1)^{2}-1}\bigr| + C.

Resposta

\frac{x+1}{2}\sqrt{(x+1)^{2}-1}\;-\;\frac{1}{2}\ln\!\bigl|x+1+\sqrt{(x+1)^{2}-1}\bigr|+C

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