Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) desta função, mais uma constante de integração.
Passo 2
Primeira ideia: simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado — isso costuma deixar a integral num formato padrão.
Faça a substituição simples
Com isso a integral fica
Agora o problema é calcular
com
. Vou tratar o caso geral com
e depois aplicar
.
Passo 3
Seja
Para encontrar
usamos integração por partes. Defina
Escolhemos integrar por partes com
e
. Então
e
A fórmula de integração por partes
dá
Agora escrevemos
. Então
Lembrando que
, voltamos à expressão para
:
Isolando
:
Portanto
Passo 4
Falta calcular
. Uma primitiva conhecida (e fácil de verificar diferenciando) é
Verificação rápida: defina
. Então
Assim a fórmula está correta.
Passo 5
Substituindo esse resultado em
obtemos a primitiva geral
Agora volte à variável original:
e
. Portanto