Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedem para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1}\,dx.
  • Intervalo de integração: \,x\in[0,1].
  • Integrando: \sqrt{x^{2}+1}, que é contínuo em [0,1] (logo a integral existe).

Passo 2

Escolha do método e mudança de variável.
  • Uma substituição clássica para eliminar a raiz \sqrt{x^{2}+1} é usar \,x=\tan\theta, porque vale a identidade \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta que transforma a raiz em \operatorname{sec}\theta.
  • Quando x varia de 0 a 1, o ângulo \theta varia de 0 a \pi/4 (pois \tan 0=0 e \tan(\pi/4)=1).
  • Calculando diferenciais e a raiz: x=\tan\theta\quad\Rightarrow\quad dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{\tan^{2}\theta+1}=\operatorname{sec}\theta.
  • Substituindo na integral obtém-se \int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 3

Como integrar \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta — estratégia por partes.
  • Vamos usar a fórmula de integração por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • Escolha prática: u=\operatorname{sec}\theta e dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Então calcule du e v: du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.

Passo 4

Aplicando a integração por partes e manipulando identidades trigonométricas.
  • Aplicando a fórmula: \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.
  • Simplificando o integrando: \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.
  • Usando a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1: \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta.
  • Distribuindo: \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
  • Agora isolando \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta: 2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\Big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta\Big).

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta (fórmula padrão com demonstração rápida).
  • Uma demonstração elegante usa a substituição baseada em \operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Observe: \frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta=(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\operatorname{sec}\theta.
  • Portanto \frac{d(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}=\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
  • Integrando ambos os lados: \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|+C.

Passo 6

Combinar resultados para obter a primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta.
  • Substituindo a primitiva de \operatorname{sec}\theta na expressão do Passo 4: \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\Big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\Big)+C.

Passo 7

Avaliar a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
  • Usar a primitiva encontrada: \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\Big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\Big)\right]_{0}^{\pi/4}.
  • Calcular os valores nos limites:
    • Para \theta=\pi/4: \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2}, \tan(\pi/4)=1, então \operatorname{sec}\theta\tan\theta\big|_{\pi/4}=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2},
\ln\big(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big)\big|_{\pi/4}=\ln(\sqrt{2}+1).
  • Para \theta=0: \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0, então \operatorname{sec}\theta\tan\theta\big|_{0}=0,\qquad \ln\big(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big)\big|_{0}=\ln 1=0.
  • Subtraindo: \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\Big(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\Big)-\tfrac{1}{2}\cdot 0 = \tfrac{1}{2}\Big(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\Big).

Passo 8

Conclusão e incentivo rápido.
  • Assim a integral original vale exatamente \int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\tfrac{1}{2}\Big(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\Big).
  • Bom trabalho por aguentar até aqui — essa integral é padrão e aparece bastante em provas; decorar a técnica (substituição x=\tan\theta e a forma da primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta) ajuda muito na hora!

Resposta

\tfrac{1}{2}\big(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\big)

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