Calcule a integral. \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} d x
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
Pedem para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1}\,dx.
Intervalo de integração: \,x\in[0,1].
Integrando: \sqrt{x^{2}+1}, que é contínuo em [0,1] (logo a integral existe).
Passo 2
Escolha do método e mudança de variável.
Uma substituição clássica para eliminar a raiz \sqrt{x^{2}+1} é usar \,x=\tan\theta, porque vale a identidade \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta que transforma a raiz em \operatorname{sec}\theta.
Quando x varia de 0 a 1, o ângulo \theta varia de 0 a \pi/4 (pois \tan 0=0 e \tan(\pi/4)=1).
Calculando diferenciais e a raiz:x=\tan\theta\quad\Rightarrow\quad dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta (fórmula padrão com demonstração rápida).
Uma demonstração elegante usa a substituição baseada em \operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Observe:\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta=(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\operatorname{sec}\theta.
Integrando ambos os lados:\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|+C.
Passo 6
Combinar resultados para obter a primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta.
Substituindo a primitiva de \operatorname{sec}\theta na expressão do Passo 4:\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\Big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\Big)+C.
Passo 7
Avaliar a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Usar a primitiva encontrada:\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\Big(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\Big)\right]_{0}^{\pi/4}.
Calcular os valores nos limites:
Para \theta=\pi/4: \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2}, \tan(\pi/4)=1, então\operatorname{sec}\theta\tan\theta\big|_{\pi/4}=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2},
Assim a integral original vale exatamente\int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\tfrac{1}{2}\Big(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\Big).
Bom trabalho por aguentar até aqui — essa integral é padrão e aparece bastante em provas; decorar a técnica (substituição x=\tan\theta e a forma da primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta) ajuda muito na hora!