Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A integranda é
. - Como dentro da raiz precisa ser não negativo, a expressão faz sentido real para
. - O objetivo é encontrar uma primitiva
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método — explicação didática:
- Quando aparece uma raiz do tipo
é muito conveniente usar a substituição trigonométrica . Isso funciona porque a identidade pitagórica transforma a raiz numa função simples de . - Aqui temos
e . Uma escolha direta é fazer a substituição
- Vou explicar passo a passo o que isso implica: como trocar
, como fica a raiz e qual intervalo natural para (escolhemos o ramo onde , isto é , para que sem sinal trocado).
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Calcular
:
- Calcular a raiz:
usando
no ramo escolhido.
- Substituindo na integral:
Passo 4
Integrando
— fórmula e aplicação:
- Identidade útil:
. Esta identidade vem de duplicação de ângulo e é muito prática para integrar quadrados de seno ou cosseno. - Aplicando:
- Integrando term a term:
- Somando e incluindo a constante de integração
:
Passo 5
Simplificar a expressão em
:
- Usar a identidade de ângulo duplo
. Assim
- Portanto a primitiva em termos de
é
Passo 6
Voltar para a variável
(substituir
,
,
por expressões em
):
- Pela substituição inicial
temos . - E já vimos que
(no ramo onde a raiz é não negativa). - Além disso
(novamente tomando o ramo principal de , compatível com ). - Substituindo na expressão de Passo 5:
- Simplificando o segundo termo:
Passo 7
Verificação rápida (derivação da primitiva encontrada):
- Tomando
pode-se derivar e verificar que
. A verificação usa as regras usuais: derivada de
é
e a regra do produto para
; ao somar termos tudo se simplifica e sobra exatamente
. Isso confirma que a primitiva está correta (até constante).