Calcule a integral.
\int \sqrt{1-4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{1-4x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integranda é \sqrt{1-4x^{2}}.
  • Como dentro da raiz precisa ser não negativo, a expressão faz sentido real para |x|\le \tfrac{1}{2}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\sqrt{1-4x^{2}}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método — explicação didática:
  • Quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}} é muito conveniente usar a substituição trigonométrica u=a\sin\theta. Isso funciona porque a identidade pitagórica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 transforma a raiz numa função simples de \theta.
  • Aqui temos a^{2}=1 e u=2x. Uma escolha direta é fazer a substituição
x=\tfrac{1}{2}\sin\theta.
  • Vou explicar passo a passo o que isso implica: como trocar dx, como fica a raiz e qual intervalo natural para \theta (escolhemos o ramo onde \cos\theta\ge0, isto é \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big], para que \sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta sem sinal trocado).

Passo 3

Aplicando a substituição x=\tfrac{1}{2}\sin\theta:
  • Calcular dx:
dx=\tfrac{1}{2}\cos\theta\,d\theta.
  • Calcular a raiz:
\sqrt{1-4x^{2}}=\sqrt{1-4\big(\tfrac{1}{2}\sin\theta\big)^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta,
usando \cos\theta\ge0 no ramo escolhido.
  • Substituindo na integral:
\int \sqrt{1-4x^{2}}\,dx = \int \big(\cos\theta\big)\cdot\big(\tfrac{1}{2}\cos\theta\,d\theta\big) = \tfrac{1}{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrando \cos^{2}\theta — fórmula e aplicação:
  • Identidade útil: \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Esta identidade vem de duplicação de ângulo e é muito prática para integrar quadrados de seno ou cosseno.
  • Aplicando:
\tfrac{1}{2}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \tfrac{1}{4}\int \big(1+\cos(2\theta)\big)\,d\theta.
  • Integrando term a term:
\tfrac{1}{4}\int 1\,d\theta = \tfrac{1}{4}\theta, \qquad \tfrac{1}{4}\int \cos(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{4}\cdot \frac{\sin(2\theta)}{2} = \tfrac{1}{8}\sin(2\theta).
  • Somando e incluindo a constante de integração C:
\int \sqrt{1-4x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{4}\theta + \tfrac{1}{8}\sin(2\theta) + C.

Passo 5

Simplificar a expressão em \theta:
  • Usar a identidade de ângulo duplo \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Assim
\tfrac{1}{8}\sin(2\theta)=\tfrac{1}{8}\cdot 2\sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{4}\sin\theta\cos\theta.
  • Portanto a primitiva em termos de \theta é
\int \sqrt{1-4x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{4}\theta + \tfrac{1}{4}\sin\theta\cos\theta + C.

Passo 6

Voltar para a variável x (substituir \theta, \sin\theta, \cos\theta por expressões em x):
  • Pela substituição inicial x=\tfrac{1}{2}\sin\theta temos \sin\theta=2x.
  • E já vimos que \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-4x^{2}} (no ramo onde a raiz é não negativa).
  • Além disso \theta=\arcsin(\sin\theta)=\arcsin(2x) (novamente tomando o ramo principal de \arcsin, compatível com |2x|\le 1).
  • Substituindo na expressão de Passo 5:
\int \sqrt{1-4x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{4}\arcsin(2x) + \tfrac{1}{4}\cdot(2x)\cdot\sqrt{1-4x^{2}} + C.
  • Simplificando o segundo termo:
\tfrac{1}{4}\cdot(2x)\cdot\sqrt{1-4x^{2}}=\tfrac{1}{2}x\sqrt{1-4x^{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (derivação da primitiva encontrada):
  • Tomando
F(x)=\tfrac{1}{4}\arcsin(2x)+\tfrac{1}{2}x\sqrt{1-4x^{2}},
pode-se derivar e verificar que F'(x)=\sqrt{1-4x^{2}}. A verificação usa as regras usuais: derivada de \arcsin(2x) é \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}} e a regra do produto para x\sqrt{1-4x^{2}}; ao somar termos tudo se simplifica e sobra exatamente \sqrt{1-4x^{2}}. Isso confirma que a primitiva está correta (até constante).

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{4}\arcsin(2x)+\tfrac{1}{2}x\sqrt{1-4x^{2}}+C

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