Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e suposições necessárias:
- O intervalo de integração é de
até . - Para que a raiz quadrada esteja bem definida no intervalo, assumimos
. - Objetivo: encontrar o valor da integral em função de
.
Passo 2
Escolha do método (substituição trigonométrica). Vou transformar a expressão
em algo mais simples usando a substituição
Explicação do porquê: com
vem
e isso é não-negativo para
, que será o intervalo correspondente às nossas
de
a
. Também calculamos o diferencial:
Agora trocamos os limites: se
então
; se
então
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral e simplificar fatores constantes. Substituindo
,
e
, obtemos
Agrupando os fatores
fora da integral:
Passo 4
Simplificar a função trigonométrica usando identidades. Primeiro uso a identidade do ângulo duplo:
Depois uso a identidade para
em termos de cosseno:
Combinando as duas,
Substituindo isso na integral:
Passo 5
Calcular a integral restante explicitamente. Integro termo a termo:
Mas
e
, portanto essa segunda integral vale
. Assim
Voltando ao fator fora: