Calcule a integral.
\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx.
Informações dadas e suposições necessárias:
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=a.
  • Para que a raiz quadrada esteja bem definida no intervalo, assumimos a>0.
  • Objetivo: encontrar o valor da integral em função de a.

Passo 2

Escolha do método (substituição trigonométrica). Vou transformar a expressão \sqrt{a^{2}-x^{2}} em algo mais simples usando a substituição
x = a\sin t.
Explicação do porquê: com x=a\sin t vem
\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}=a\sqrt{1-\sin^{2}t}=a\cos t,
e isso é não-negativo para t\in[0,\tfrac{\pi}{2}], que será o intervalo correspondente às nossas x de 0 a a. Também calculamos o diferencial:
dx = a\cos t\,dt.
Agora trocamos os limites: se x=0 então t=0; se x=a então t=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Fazer a substituição na integral e simplificar fatores constantes. Substituindo x=a\sin t, \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t e dx=a\cos t\,dt, obtemos
\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} (a\sin t)^{2}\cdot (a\cos t)\cdot (a\cos t)\,dt.
Agrupando os fatores a fora da integral:
= a^{4}\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}t\cos^{2}t\,dt.

Passo 4

Simplificar a função trigonométrica usando identidades. Primeiro uso a identidade do ângulo duplo:
\sin 2t = 2\sin t\cos t \quad\Rightarrow\quad \sin^{2}t\cos^{2}t = \frac{1}{4}\sin^{2}2t.
Depois uso a identidade para \sin^{2} em termos de cosseno:
\sin^{2}2t = \frac{1-\cos 4t}{2}.
Combinando as duas,
\sin^{2}t\cos^{2}t = \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos 4t}{2}=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos 4t\bigr).
Substituindo isso na integral:
a^{4}\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}t\cos^{2}t\,dt = a^{4}\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{8}\bigl(1-\cos 4t\bigr)\,dt = \frac{a^{4}}{8}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos 4t\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral restante explicitamente. Integro termo a termo:
\int_{0}^{\pi/2} 1\,dt = \left[t\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2},
\int_{0}^{\pi/2} \cos 4t\,dt = \left[\frac{1}{4}\sin 4t\right]_{0}^{\pi/2}.
Mas \sin(4\cdot\frac{\pi}{2})=\sin 2\pi=0 e \sin 0=0, portanto essa segunda integral vale 0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos 4t\bigr)\,dt = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}.
Voltando ao fator fora:
\frac{a^{4}}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^{4}}{16}.

Resposta

\dfrac{\pi a^{4}}{16}

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