Use Part 1 of the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function.
13. h(x)=\int_{2}^{1 / x} \arctan t d t

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\int_{2}^{1/x} \arctan t\, dt
e pede que eu encontre a derivada h'(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A integranda é \arctan t.
  • O limite inferior da integral é a constante 2.
  • O limite superior da integral é a função de x, 1/x.
  • Então a função depende de x apenas pelo limite superior.
  • Precisamos calcular a derivada em relação a x. Note que x\neq0 porque aparece 1/x.

Passo 2

Vou usar a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (versão com limite superior dependente) e a regra da cadeia. Primeiro explico a ideia do teorema de forma bem clara.
Teorema (caso base): se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt, onde a é constante e f é contínua, então
F'(x)=f(x).
Aqui t é a variável de integração (um nome fictício), a é um número fixo, x é a variável externa cuja derivada queremos, e f é a função integranda.
Generalização com composição (regra da cadeia): se G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, onde g(x) é uma função diferenciável, então aplicando o teorema anterior e a regra da cadeia obtemos
G'(x)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Explicando: primeiro tratamos \int_{a}^{u} f(t)\,dt como função de u e sabemos que a derivada em relação a u é f(u). Depois multiplicamos por du/dx=g'(x) porque u=g(x).

Passo 3

Identifico na nossa função h(x) que f(t)=\arctan t e que g(x)=1/x é o limite superior. Portanto posso aplicar a fórmula da etapa anterior diretamente:
h'(x)=\arctan\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right).
Agora vou calcular \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).

Passo 4

Calcular a derivada de g(x)=1/x. Escrevo 1/x=x^{-1}. A derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}. Logo
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Aqui expliquei cada passo: usei a regra de potência \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} com n=-1.

Passo 5

Substituo essa derivada na expressão para h'(x):
h'(x)=\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
Multiplicando e organizando os sinais,
h'(x)=-\frac{\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}.
Lembre-se: essa expressão só faz sentido para x\neq0, que é o domínio natural aqui.

Resposta

-\frac{\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}

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