Use Part 1 of the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function.
13.
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre a derivada
.
Informações importantes fornecidas:
- A integranda é
. - O limite inferior da integral é a constante
. - O limite superior da integral é a função de
, . - Então a função depende de
apenas pelo limite superior. - Precisamos calcular a derivada em relação a
. Note que porque aparece .
Passo 2
Vou usar a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (versão com limite superior dependente) e a regra da cadeia. Primeiro explico a ideia do teorema de forma bem clara.
Teorema (caso base): se
, onde
é constante e
é contínua, então
Aqui
é a variável de integração (um nome fictício),
é um número fixo,
é a variável externa cuja derivada queremos, e
é a função integranda.
Generalização com composição (regra da cadeia): se
, onde
é uma função diferenciável, então aplicando o teorema anterior e a regra da cadeia obtemos
Explicando: primeiro tratamos
como função de
e sabemos que a derivada em relação a
é
. Depois multiplicamos por
porque
.
Passo 3
Identifico na nossa função
que
e que
é o limite superior. Portanto posso aplicar a fórmula da etapa anterior diretamente:
Agora vou calcular
.
Passo 4
Calcular a derivada de
. Escrevo
. A derivada de
é
. Logo
Aqui expliquei cada passo: usei a regra de potência
com
.
Passo 5
Substituo essa derivada na expressão para
:
Multiplicando e organizando os sinais,
Lembre-se: essa expressão só faz sentido para
, que é o domínio natural aqui.