QUESTÃO 5 Dentre as opções abaixo, escolha o método de sua preferência (marque com X a opção escolhida) e escreva a solução geral da equação não homogênea
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=24 e^{x}

Opção escolhida:

( ) Método dos Coeficientes Indeterminados
( ) Método da Variação dos Parâmetros

Passo 1

O enunciado pede para escolher um dos métodos indicados e escrever a solução geral da equação não homogênea
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=24e^{x}.
Opção escolhida (marcada com X):
( X ) Método dos Coeficientes Indeterminados
( ) Método da Variação dos Parâmetros
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Termo não homogêneo (forçamento) é 24e^{x}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0.
Para isso associamos a equação característica obtida trocando y por e^{rx}:
r^{2}-6r+9=0.
Esse polinômio é um quadrático; calculando suas raízes:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0,
logo temos uma raiz dupla r=3 (multiplicidade 2).
Explicação didática (por que fazemos isso): a ideia é procurar soluções da forma e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a condição para r acima; quando a raiz r aparece com multiplicidade m, as soluções independentes associadas são e^{rx},\, x e^{rx},\, x^{2}e^{rx},\ldots até x^{m-1}e^{rx}. Aqui, multiplicidade 2 → duas soluções independentes: e^{3x} e x e^{3x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha do método de coeficientes indeterminados e justificativa: o termo não homogêneo é 24e^{x}, que é uma função elementar do tipo exponencial e os coeficientes da equação são constantes; isso é exatamente o caso em que o método dos coeficientes indeterminados é mais simples e direto. A ideia é tentar uma forma para uma solução particular y_{p} que tenha a mesma classe de funções do forçamento (aqui: exponencial).
Regra prática (resonância): se e^{\alpha x} for raiz da equação característica com multiplicidade s\ge1, devemos multiplicar a tentativa por x^{s} para evitar conflito com a solução homogênea. Aqui o forçamento é e^{x} ( \alpha=1); a raiz da homogênea é r=3, diferente de 1, então não há ressonância e tomamos a forma simples
y_{p}(x)=A e^{x},
com A constante indeterminada a ser encontrada.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação para determinar A.
Derivadas:
y_{p}^{\prime}=A e^{x},\qquad y_{p}^{\prime\prime}=A e^{x}.
Substituição no lado esquerdo da equação:
y_{p}^{\prime\prime}-6y_{p}^{\prime}+9y_{p} = A e^{x} -6A e^{x} +9A e^{x}.
Somando os coeficientes:
A(1-6+9)e^{x}=A\cdot 4\,e^{x}=4A e^{x}.
Igualando ao lado direito 24e^{x}:
4A e^{x}=24 e^{x}.
Como e^{x} nunca é zero, podemos cancelar e obter:
4A=24 \quad\Rightarrow\quad A=6.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=6e^{x}.

Passo 5

Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral da equação não homogênea. A solução geral é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}+6e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): derivando e substituindo a solução geral na equação deve-se obter igualdade; como já determinámos A garantindo que a parte particular produce 24e^{x} e y_{h} satisfaz a homogênea, a soma satisfaz a não homogênea — procedimento padrão e seguro em provas.
Força aí — essa é a forma que geralmente cai em prova: achar as raízes da característica, lidar com raízes múltiplas (multiplicar por x quando necessário) e tentar uma forma para y_{p} seguindo a natureza do termo forçante.

Resposta

\displaystyle y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}+6e^{x}

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