QUESTÃO 5 Dentre as opções abaixo, escolha o método de sua preferência (marque com X a opção escolhida) e escreva a solução geral da equação não homogênea
Opção escolhida:
( ) Método dos Coeficientes Indeterminados
( ) Método da Variação dos Parâmetros
( ) Método da Variação dos Parâmetros
Passo 1
O enunciado pede para escolher um dos métodos indicados e escrever a solução geral da equação não homogênea
Opção escolhida (marcada com X):
( X ) Método dos Coeficientes Indeterminados
( ) Método da Variação dos Parâmetros
( X ) Método dos Coeficientes Indeterminados
( ) Método da Variação dos Parâmetros
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não homogêneo (forçamento) é
. - Objetivo: encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Para isso associamos a equação característica obtida trocando
por
:
Esse polinômio é um quadrático; calculando suas raízes:
logo temos uma raiz dupla
(multiplicidade 2).
Explicação didática (por que fazemos isso): a ideia é procurar soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a condição para
acima; quando a raiz
aparece com multiplicidade
, as soluções independentes associadas são
até
. Aqui, multiplicidade 2 → duas soluções independentes:
e
.
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha do método de coeficientes indeterminados e justificativa: o termo não homogêneo é
, que é uma função elementar do tipo exponencial e os coeficientes da equação são constantes; isso é exatamente o caso em que o método dos coeficientes indeterminados é mais simples e direto. A ideia é tentar uma forma para uma solução particular
que tenha a mesma classe de funções do forçamento (aqui: exponencial).
Regra prática (resonância): se
for raiz da equação característica com multiplicidade
, devemos multiplicar a tentativa por
para evitar conflito com a solução homogênea. Aqui o forçamento é
(
); a raiz da homogênea é
, diferente de
, então não há ressonância e tomamos a forma simples
com
constante indeterminada a ser encontrada.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para determinar
.
Derivadas:
Substituição no lado esquerdo da equação:
Somando os coeficientes:
Igualando ao lado direito
:
Como
nunca é zero, podemos cancelar e obter:
Portanto a solução particular é
Passo 5
Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral da equação não homogênea. A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): derivando e substituindo a solução geral na equação deve-se obter igualdade; como já determinámos
garantindo que a parte particular produce
e
satisfaz a homogênea, a soma satisfaz a não homogênea — procedimento padrão e seguro em provas.
Força aí — essa é a forma que geralmente cai em prova: achar as raízes da característica, lidar com raízes múltiplas (multiplicar por
quando necessário) e tentar uma forma para
seguindo a natureza do termo forçante.