Calcule a integral.
\int_{1}^{5} \sqrt[3]{2 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{5} \sqrt[3]{2x-1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição para transformar a raiz cúbica numa potência simples e depois aplicar a regra de potência para integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x - 1,
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du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=1, u=2\cdot1-1=1.
Quando x=5, u=2\cdot5-1=9.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle\int_{1}^{5}(2x-1)^{1/3}dx, obtemos
\int_{1}^{5}(2x-1)^{1/3}dx = \int_{u=1}^{u=9} u^{1/3}\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{1}^{9} u^{1/3}\,du.

Passo 4

Para \displaystyle\int u^{1/3}du usamos a regra de potência
\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \quad\text{com }n=\tfrac13.
Assim
\frac12 \int_{1}^{9} u^{1/3}du = \frac12 \,\Biggl[\frac{u^{4/3}}{4/3}\Biggr]_{1}^{9} = \frac12 \cdot \frac{3}{4}\,\bigl[\,9^{4/3}-1^{4/3}\bigr] = \frac{3}{8}\bigl(9^{4/3}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}\bigl(9^{4/3}-1\bigr)

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