Calcule a integral dupla.
\iint_{R} x y e^{y} d A, \quad R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,y\,e^{y}\,dA,
onde
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 1\}.
O conteúdo aqui é integração dupla sobre região retangular. Como a função f(x,y)=x\,y\,e^{y} é contínua em R, podemos usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada.

Passo 2

Pela regra de Fubini, escolhemos integrar primeiro em y e depois em x:
\iint_{R} x\,y\,e^{y}\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\Bigl(\int_{y=0}^{1} x\,y\,e^{y}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

No integrando interno, x é constante em relação a y. Logo
\int_{y=0}^{1} x\,y\,e^{y}\,dy = x \int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy.
Ficamos então com
\int_{0}^{2} x \biggl(\int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy\biggr) dx.

Passo 4

Calculamos \displaystyle \int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy por partes. Seja
u = y,\quad dv = e^{y}\,dy \quad\Longrightarrow\quad du = dy,\quad v = e^{y}.
Então
\int y\,e^{y}\,dy = y\,e^{y} - \int e^{y}\,dy = y\,e^{y} - e^{y} + C.
Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y\,e^{y}\,dy =\bigl[y\,e^{y}-e^{y}\bigr]_{0}^{1} =(1\cdot e - e) - (0\cdot1 - 1) =0 - (-1) =1.

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral em x, obtemos
\int_{0}^{2} x\cdot 1\,dx =\int_{0}^{2} x\,dx =\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} =\frac{4}{2}-0 =2.

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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