Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2}\left(x^{4}-y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\bigl(x^{4}-y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Como a função f(x,y)=x^{4}-y^{2} é contínua num retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini: primeiro integramos em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{1}^{2}\bigl(x^{4}-y^{2}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}x^{4}\,dx \;-\;\int_{1}^{2}y^{2}\,dx.
Como y^{2} é constante em relação a x,
\int_{1}^{2}x^{4}\,dx=\Bigl[\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac{2^{5}}{5}-\tfrac{1^{5}}{5}=\tfrac{31}{5},
\int_{1}^{2}y^{2}\,dx=y^{2}\,(2-1)=y^{2}.
Logo a integral interna vale
\tfrac{31}{5}-y^{2}.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{31}{5}-y^{2}\Bigr)\,dy =\tfrac{31}{5}\int_{0}^{1}dy \;-\;\int_{0}^{1}y^{2}\,dy =\tfrac{31}{5}\cdot1-\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{31}{5}-\tfrac{1}{3}.
Colocando no mesmo denominador:
\tfrac{31}{5}-\tfrac{1}{3} =\tfrac{93}{15}-\tfrac{5}{15} =\tfrac{88}{15}.

Resposta

\tfrac{88}{15}

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