Calcule a integral.
\int \frac{d x}{x^{3}+x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1}.
Trata-se de uma integral de função racional. A estratégia é fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador por agrupamento:
x^{3}+x^{2}+x+1 = x^{2}(x+1)+1\,(x+1) = (x+1)\,(x^{2}+1).

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+1)\) e igualando coeficientes em \[1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1),
obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\ B + C = 0,\\\ A + C = 1. \end{cases}
Daí A=\tfrac12\], \(B=-\tfrac12, C=\tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac12 \int \frac{dx}{x+1} - \frac12 \int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} + \frac12 \int \frac{dx}{x^{2}+1}.
Sabendo que
\int \frac{dx}{x+1} = \ln\lvert x+1\rvert, \quad \int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = \tfrac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad \int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan x,
temos
\int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac12 \ln\lvert x+1\rvert - \frac12 \cdot \frac12 \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac12 \arctan x + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{x^{3}+x^{2}+x+1} = \frac12\ln\lvert x+1\rvert - \frac14\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac12\arctan x + C.}

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