Calcule a integral:
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x \, dx.
Informações dadas: a integranda é \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x (ou seja, \tan^{3}x\operatorname{sec} x). Não há outras restrições explícitas (é uma primitiva indefinida), então o resultado deve ser uma família de funções com constante de integração C.

Passo 2

Vamos reescrever a integranda de forma útil. Observe que podemos separar \tan^{3}x em \tan^{2}x\cdot\tan x. Escrever assim é comum porque conhecemos uma identidade trigonométrica que relaciona \tan^{2}x e \operatorname{sec}^{2}x. Escrevo:
\operatorname{tg}^{3}x\operatorname{sec} x = \tan^{2}x\cdot(\tan x\operatorname{sec} x).

Passo 3

Apresento a identidade trigonométrica que vamos usar: para todo x em que as funções estão definidas,
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1.
Explico: é a identidade pitagórica dividida por \cos^{2}x. A identidade básica é \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Dividindo por \cos^{2}x obtemos \tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x, logo \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1. Substituo essa identidade na expressão do Passo 2:
\tan^{2}x\cdot(\tan x\operatorname{sec} x) = (\operatorname{sec}^{2}x-1)\cdot(\tan x\operatorname{sec} x).

Passo 4

Agora escolhemos uma substituição (u-subst) que simplifica a integral. Note que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Portanto, defino a variável
u = \operatorname{sec} x.
Derivo ambos os lados em relação a x:
du = \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Isto é, temos exatamente \tan x\operatorname{sec} x\,dx = du. Isso é perfeito porque esse fator aparece na nossa integranda após o Passo 3.

Passo 5

Substituo na integral. A partir do Passo 3 a integral ficou
\int (\operatorname{sec}^{2}x-1)\cdot(\tan x\operatorname{sec} x)\,dx.
Usando \tan x\operatorname{sec} x\,dx = du e \operatorname{sec} x = u (logo \operatorname{sec}^{2}x = u^{2}), obtemos
\int (\operatorname{sec}^{2}x-1)\cdot(\tan x\operatorname{sec} x)\,dx = \int (u^{2}-1)\,du.
Expliquei: substituí \operatorname{sec}^{2}x por u^{2} e \tan x\operatorname{sec} x\,dx por du.

Passo 6

Agora integramos a expressão em u. Uso a regra do poder para integrais: se \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Assim,
\int (u^{2}-1)\,du = \int u^{2}\,du - \int 1\,du = \frac{u^{3}}{3} - u + C.

Passo 7

Volto à variável original x usando u=\operatorname{sec} x. Substituindo,
\frac{u^{3}}{3} - u + C = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}x - \operatorname{sec} x + C.

Passo 8

(Facultativo, mas bom para conferir) Verifico rapidamente derivando a resposta encontrada: seja F(x)=\frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}x-\operatorname{sec} x. Pela regra da cadeia e derivada de \operatorname{sec} x temos
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x) - (\operatorname{sec} x\tan x) = (\operatorname{sec}^{3}x-\operatorname{sec} x)\tan x.
Fatorando \operatorname{sec} x e usando \operatorname{sec}^{2}x-1=\tan^{2}x obtemos
F'(x)=\operatorname{sec} x\tan x(\operatorname{sec}^{2}x-1)=\operatorname{sec} x\tan x\cdot\tan^{2}x=\tan^{3}x\operatorname{sec} x,
que é exatamente a integranda — resposta conferida.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}x-\operatorname{sec} x + C

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