Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é
(ou seja,
). Não há outras restrições explícitas (é uma primitiva indefinida), então o resultado deve ser uma família de funções com constante de integração
.
Passo 2
Vamos reescrever a integranda de forma útil. Observe que podemos separar
em
. Escrever assim é comum porque conhecemos uma identidade trigonométrica que relaciona
e
. Escrevo:
Passo 3
Apresento a identidade trigonométrica que vamos usar: para todo
em que as funções estão definidas,
Explico: é a identidade pitagórica dividida por
. A identidade básica é
. Dividindo por
obtemos
, logo
. Substituo essa identidade na expressão do Passo 2:
Passo 4
Agora escolhemos uma substituição (u-subst) que simplifica a integral. Note que a derivada de
é
. Portanto, defino a variável
Derivo ambos os lados em relação a
:
Isto é, temos exatamente
. Isso é perfeito porque esse fator aparece na nossa integranda após o Passo 3.
Passo 5
Substituo na integral. A partir do Passo 3 a integral ficou
Usando
e
(logo
), obtemos
Expliquei: substituí
por
e
por
.
Passo 6
Agora integramos a expressão em
. Uso a regra do poder para integrais: se
para
. Assim,
Passo 7
Volto à variável original
usando
. Substituindo,
Passo 8
(Facultativo, mas bom para conferir) Verifico rapidamente derivando a resposta encontrada: seja
. Pela regra da cadeia e derivada de
temos
Fatorando
e usando
obtemos
que é exatamente a integranda — resposta conferida.