Calcule a integral:
\int \tan ^{-1}(2 y) d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \tan^{-1}(2y)\,dy.
Informações dadas: a função integranda é \tan^{-1}(2y) (arctangente de 2y); a variável de integração é y. Precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, uma expressão cujo derivada em relação a y seja \tan^{-1}(2y)), mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê de escolhê-la:
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e dv são partes da integranda que escolhemos; du é a derivada de u em relação a y vezes dy, e v é uma primitiva de dv.
Motivação da escolha: escolhemos u como uma função que fica mais simples ao derivar (no caso \tan^{-1}(2y) tem derivada simples) e dv como algo fácil de integrar (aqui dv=dy). Assim, tomamos
u=\tan^{-1}(2y),\qquad dv=dy.

Passo 3

Calcular du e v.
Derivada da arctangente com argumento linear: para f(y)=\tan^{-1}(ay) vale
\frac{d}{dy}\tan^{-1}(ay)=\frac{a}{1+a^{2}y^{2}}.
Aplicando com a=2 obtemos
du=\frac{2}{1+4y^{2}}\,dy.
Integrando dv obtemos
v=\int dv=\int dy = y.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \tan^{-1}(2y)\,dy = uv - \int v\,du = y\cdot \tan^{-1}(2y) - \int y\cdot \frac{2}{1+4y^{2}}\,dy.
Escrevendo o integral restante:
\int y\cdot \frac{2}{1+4y^{2}}\,dy = 2\int \frac{y}{1+4y^{2}}\,dy.

Passo 5

Resolver 2\int \dfrac{y}{1+4y^{2}}\,dy por substituição. Seja
w=1+4y^{2}\quad\Rightarrow\quad dw=8y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy=\frac{dw}{8}.
Substituindo:
2\int \frac{y}{1+4y^{2}}\,dy = 2\int \frac{1}{w}\cdot\frac{dw}{8} = \frac{2}{8}\int \frac{dw}{w} = \frac{1}{4}\ln|w| + \text{const}.
Como w=1+4y^{2}>0 para todo y, podemos remover as barras de valor absoluto:
2\int \frac{y}{1+4y^{2}}\,dy = \frac{1}{4}\ln(1+4y^{2}).

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta na expressão da Passo 4:
\int \tan^{-1}(2y)\,dy = y\cdot \tan^{-1}(2y) - \frac{1}{4}\ln(1+4y^{2}) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dy}\bigg(y\tan^{-1}(2y)\bigg)=\tan^{-1}(2y)+y\cdot\frac{2}{1+4y^{2}}
e
\frac{d}{dy}\bigg(-\tfrac{1}{4}\ln(1+4y^{2})\bigg)=-\tfrac{1}{4}\cdot\frac{8y}{1+4y^{2}}=-\frac{2y}{1+4y^{2}}.
Somando as duas parcelas a parte racional cancela e sobra \tan^{-1}(2y), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

y\tan^{-1}(2y)-\tfrac{1}{4}\ln(1+4y^{2})+C

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