Calcule a integral:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
(arctangente de
); a variável de integração é
. Precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, uma expressão cujo derivada em relação a
seja
), mais a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê de escolhê-la:
Fórmula de integração por partes:
Aqui
e
são partes da integranda que escolhemos;
é a derivada de
em relação a
vezes
, e
é uma primitiva de
.
Motivação da escolha: escolhemos
como uma função que fica mais simples ao derivar (no caso
tem derivada simples) e
como algo fácil de integrar (aqui
). Assim, tomamos
Passo 3
Calcular
e
.
Derivada da arctangente com argumento linear: para
vale
Aplicando com
obtemos
Integrando
obtemos
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Escrevendo o integral restante:
Passo 5
Resolver
por substituição. Seja
Substituindo:
Como
para todo
, podemos remover as barras de valor absoluto:
Passo 6
Substituindo esse resultado de volta na expressão da Passo 4:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta obtemos
e
Somando as duas parcelas a parte racional cancela e sobra
, confirmando que a primitiva está correta.