Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é um parâmetro constante (o enunciado não diz nada mais, então vamos considerar a possibilidade
e tratar o caso
separadamente). A informação relevante é apenas a função integranda
e que estamos integrando em relação a
.
Passo 2
Escolhemos um método adequado: a fórmula de integração por partes. Vou te ensinar isso com calma. A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função de que escolhemos para derivar (gera ); -
é uma parte que escolhemos para integrar (gera com ).
Intuição prática: escolha
como a parte que fica mais simples quando derivada, e
como a parte que você sabe integrar. No nosso integrando
é natural tomar
(porque derivar dá
) e
(porque sabemos integrar
).
Passo 3
Façamos as escolhas e calculemos os diferenciais:
Agora calculamos
. Para integrar
faça a substituição
, então
e
. Assim
(Em integrais indefinidas o
será incluído apenas no resultado final.)
Passo 4
Aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Colocando constantes fora da integral:
Passo 5
Agora integramos
. Usando a mesma ideia da substituição
:
Substituindo esse resultado em cima:
Portanto, para
,
Passo 6
Vamos checar rapidamente derivando o resultado, para ganhar confiança. Seja
Calcule
usando regra do produto e cadeia:
E
Somando as duas derivadas, os termos com
se cancelam e sobra
que é exatamente a função integranda. Perfeito!
Passo 7
Trate o caso especial
. Quando
temos
, então
Observe que a fórmula para
não pode ser usada nem substituída diretamente com
por causa das divisões por
; por isso tratamos esse caso à parte.