Calcule a integral:
\int x \operatorname{cosh} (\alpha x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx,
onde \alpha é um parâmetro constante (o enunciado não diz nada mais, então vamos considerar a possibilidade \alpha\neq 0 e tratar o caso \alpha=0 separadamente). A informação relevante é apenas a função integranda x\operatorname{cosh}(\alpha x) e que estamos integrando em relação a x.

Passo 2

Escolhemos um método adequado: a fórmula de integração por partes. Vou te ensinar isso com calma. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função de x que escolhemos para derivar (gera du);
  • dv é uma parte que escolhemos para integrar (gera v com v=\int dv).
Intuição prática: escolha u como a parte que fica mais simples quando derivada, e dv como a parte que você sabe integrar. No nosso integrando x\operatorname{cosh}(\alpha x) é natural tomar u=x (porque derivar dá 1) e dv=\operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx (porque sabemos integrar \operatorname{cosh}).

Passo 3

Façamos as escolhas e calculemos os diferenciais:
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx.
dv = \operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \int \operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx.
Agora calculamos v. Para integrar \operatorname{cosh}(\alpha x) faça a substituição t=\alpha x, então dt=\alpha\,dx e dx=\dfrac{dt}{\alpha}. Assim
v = \int \operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx = \int \operatorname{cosh}(t)\,\dfrac{dt}{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(t) + C = \dfrac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x).
(Em integrais indefinidas o +C será incluído apenas no resultado final.)

Passo 4

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int x\operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v, du:
\int x\operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx = x\cdot\frac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x) - \int \frac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x)\,dx.
Colocando constantes fora da integral:
\int x\operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx = \frac{x}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x) - \frac{1}{\alpha}\int \operatorname{sinh}(\alpha x)\,dx.

Passo 5

Agora integramos \operatorname{sinh}(\alpha x). Usando a mesma ideia da substituição t=\alpha x:
\int \operatorname{sinh}(\alpha x)\,dx = \frac{1}{\alpha}\operatorname{cosh}(\alpha x).
Substituindo esse resultado em cima:
\int x\operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx = \frac{x}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x) - \frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\alpha}\operatorname{cosh}(\alpha x) + C.
Portanto, para \alpha\neq 0,
\int x\operatorname{cosh}(\alpha x)\,dx = \frac{x}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x) - \frac{1}{\alpha^{2}}\operatorname{cosh}(\alpha x) + C.

Passo 6

Vamos checar rapidamente derivando o resultado, para ganhar confiança. Seja
F(x)=\frac{x}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x)-\frac{1}{\alpha^{2}}\operatorname{cosh}(\alpha x).
Calcule F'(x) usando regra do produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x)\right) = \frac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x) + \frac{x}{\alpha}\cdot\alpha\operatorname{cosh}(\alpha x) = \frac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x) + x\operatorname{cosh}(\alpha x).
E
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{\alpha^{2}}\operatorname{cosh}(\alpha x)\right) = -\frac{1}{\alpha^{2}}\cdot\alpha\operatorname{sinh}(\alpha x) = -\frac{1}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x).
Somando as duas derivadas, os termos com \operatorname{sinh} se cancelam e sobra
F'(x)=x\operatorname{cosh}(\alpha x),
que é exatamente a função integranda. Perfeito!

Passo 7

Trate o caso especial \alpha=0. Quando \alpha=0 temos \operatorname{cosh}(0\cdot x)=\operatorname{cosh}(0)=1, então
\int x\operatorname{cosh}(0\cdot x)\,dx=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Observe que a fórmula para \alpha\neq 0 não pode ser usada nem substituída diretamente com \alpha=0 por causa das divisões por \alpha; por isso tratamos esse caso à parte.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{\alpha}\operatorname{sinh}(\alpha x)-\frac{1}{\alpha^{2}}\operatorname{cosh}(\alpha x)+C para \alpha\neq 0
\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+C para \alpha=0

Exercícios relacionados