Calcule a integral
\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx.
Este é um caso clássico de integral com raiz quadrada do tipo \sqrt{1 - x^2}, então vamos usar a substituição trigonométrica x = \sin\theta, pois nesse caso \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = \sin\theta \quad\Rightarrow\quad dx = \cos\theta \, d\theta,
os limites em x variam de 0 a 1, o que em \theta corresponde a
x=0\\ \Rightarrow\\ \theta=0, \qquad x=1\\ \Rightarrow\\ \theta=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original,
\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} (\sin\theta)^{2} \, (\cos\theta)\,\bigl(\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta \,\cos^{2}\theta \, d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade
\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta = \frac{1}{4}\,\bigl(2\sin\theta\cos\theta\bigr)^{2} = \frac{1}{4}\,\sin^{2}(2\theta).
Portanto
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta \,\cos^{2}\theta \, d\theta = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}(2\theta)\,d\theta.
Em seguida, aplicamos \sin^{2}u = \tfrac{1 - \cos(2u)}{2} com u = 2\theta:
\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{8}\Bigl[\theta - \tfrac{1}{4}\sin(4\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/2}.

Passo 5

Avaliaremos o resultado no intervalo:
\Bigl[\theta - \tfrac{1}{4}\sin(4\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{1}{4}\sin(2\pi)\Bigr) - \Bigl(0 - \tfrac{1}{4}\sin(0)\Bigr) = \frac{\pi}{2}.
Logo a integral vale
\frac{1}{8}\,\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}.

Resposta

\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{16}.

Exercícios relacionados