Calcule a integral
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.
Este é um integral de função racional do tipo \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}}. Uma técnica eficiente aqui é a substituição trigonométrica x=\tan\theta, pois 1+x^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 2

Fazendo x=\tan\theta, temos
dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \quad x^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo na integral e ajustando os limites:
quando x=0, \theta=0;
quando x=1, \theta=\pi/4.
Assim
\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} =\int_{0}^{\pi/4}\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}} =\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \cos^{2}\theta, usamos a identidade do ângulo duplo:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Logo
\int\cos^{2}\theta\,d\theta =\int\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.

Passo 4

Voltando à variável x:
\theta=\arctan x, \qquad \sin(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^{2}\theta} =\frac{2x}{1+x^{2}}.
Portanto a primitiva é
\frac{1}{2}\arctan x +\frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} =\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^{2})}+C.

Passo 5

Avaliaremos entre 0 e 1:
em x=1 obtemos
\frac{1}{2}\arctan(1)+\frac{1}{2(1+1)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4} =\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4},
e em x=0 cada termo é zero.

Resposta

\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}.

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