O intuito desse exercício é estudar a variação da função
f(x)=x e^{-3 x}
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f. (0.5 ponto)
b) Estude a concavidade de f, indicando os pontos de inflexão caso existirem.
c) Determine se f possui máximos e/ou mínimos locais. (0.5 ponto)
d) Esboce o gráfico de f. (Considere \frac{1}{3 e} \approx 0,12 e \frac{2}{3 \mathrm{c}^{2}} \approx 0,1.) ( \mathbf{0 . 5} ponto)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função
f(x)=x e^{-3x}
em quatro itens: (a) crescimento e decrescimento, (b) concavidade e pontos de inflexão, (c) extremos locais, (d) esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para resolver.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos os intervalos de monotonicidade.
Derivando por produto e regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{-3x} + x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x}\bigr) = e^{-3x} + x\bigl(-3e^{-3x}\bigr) = e^{-3x}(1-3x).
Como e^{-3x}>0 para todo x, o sinal de f'(x) vem de (1-3x). Logo:
- f'(x)>0 se e só se 1-3x>0, isto é, x<\tfrac13.
- f'(x)<0 se e só se x>\tfrac13.

Passo 3

Para a concavidade, derivamos de novo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{-3x}(1-3x)\bigr] = e^{-3x}(-3)(1-3x) + e^{-3x}(-3) = e^{-3x}(9x-6) =3e^{-3x}(3x-2).
O fator 3e^{-3x} é sempre positivo, então o sinal de f'' é o de (3x-2). Assim:
- f''(x)<0 em x<\tfrac23 (concavidade para baixo).
- f''(x)>0 em x>\tfrac23 (concavidade para cima).
Há ponto de inflexão em x=\tfrac23.

Passo 4

Extremos locais vêm de zeros de f' com troca de sinal. O único zero é x=\tfrac13. Como f' passa de positivo em x<\tfrac13 para negativo em x>\tfrac13, f tem um máximo local em x=\tfrac13.
O valor é
f\bigl(\tfrac13\bigr) =\tfrac13\;e^{-1} =\frac{1}{3e}\approx0,12.
Não há mínimo local, pois não surge troca de negativo para positivo.

Passo 5

Esboço de f:
- Para x\to -\infty, e^{-3x}\to+\infty e x\to-\infty, logo f(x)\to -\infty.
- Passa pela origem: f(0)=0.
- Cresce até o máximo em \bigl(\tfrac13,\tfrac{1}{3e}\bigr).
- Decresce para zero quando x\to+\infty.
- Tem ponto de inflexão em \bigl(\tfrac23,\tfrac{2}{3e^2}\bigr), onde \tfrac{2}{3e^2}\approx0,10.
No esboço, a curva fica negativa à esquerda de 0, cruza em (0,0), atinge o pico em x=\tfrac13, depois cai mudando de concavidade em x=\tfrac23 e tende a zero sem mudar de sinal.

Resposta

a) f é crescente em (-\infty,\tfrac13) e decrescente em (\tfrac13,\infty).
b) f é côncava para baixo em (-\infty,\tfrac23), côncava para cima em (\tfrac23,\infty) e possui ponto de inflexão em x=\tfrac23.
c) Há máximo local em x=\tfrac13 (valor 1/(3e)); não há mínimo local.
d) Gráfico: f(x)<0 para x<0, cruza em (0,0), sobe até (\tfrac13,1/(3e)), depois desce passando por inflexão em (\tfrac23,2/(3e^2)) e tende a 0 conforme x\to\infty.

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