O intuito desse exercício é estudar a variação da função
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
. (0.5 ponto)
b) Estude a concavidade de
, indicando os pontos de inflexão caso existirem.
c) Determine se
possui máximos e/ou mínimos locais. (0.5 ponto)
d) Esboce o gráfico de
. (Considere
e
.) (
ponto)
b) Estude a concavidade de
c) Determine se
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para estudar a variação da função
em quatro itens: (a) crescimento e decrescimento, (b) concavidade e pontos de inflexão, (c) extremos locais, (d) esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para resolver.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e achamos os intervalos de monotonicidade.
Derivando por produto e regra da cadeia,
Derivando por produto e regra da cadeia,
Como
para todo
, o sinal de
vem de
. Logo:
- se e só se
, isto é,
.
- se e só se
.
-
-
Passo 3
Para a concavidade, derivamos de novo:
O fator
é sempre positivo, então o sinal de
é o de
. Assim:
- em
(concavidade para baixo).
- em
(concavidade para cima).
Há ponto de inflexão em .
-
-
Há ponto de inflexão em
Passo 4
Extremos locais vêm de zeros de
com troca de sinal. O único zero é
. Como
passa de positivo em
para negativo em
,
tem um máximo local em
.
O valor é
O valor é
Não há mínimo local, pois não surge troca de negativo para positivo.
Passo 5
Esboço de
:
- Para ,
e
, logo
.
- Passa pela origem: .
- Cresce até o máximo em .
- Decresce para zero quando .
- Tem ponto de inflexão em , onde
.
No esboço, a curva fica negativa à esquerda de 0, cruza em (0,0), atinge o pico em , depois cai mudando de concavidade em
e tende a zero sem mudar de sinal.
- Para
- Passa pela origem:
- Cresce até o máximo em
- Decresce para zero quando
- Tem ponto de inflexão em
No esboço, a curva fica negativa à esquerda de 0, cruza em (0,0), atinge o pico em
Resposta
a)
é crescente em
e decrescente em
.
b) é côncava para baixo em
, côncava para cima em
e possui ponto de inflexão em
.
c) Há máximo local em (valor
); não há mínimo local.
d) Gráfico: para
, cruza em
, sobe até
, depois desce passando por inflexão em
e tende a 0 conforme
.
b)
c) Há máximo local em
d) Gráfico: