Calcule a integral.
integral0^a d x(a^2+x^2)^32 ; a>0

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral0^a dx(a^2+x^2)^3/2, com a>0. O conteúdo aqui é integração de funções da forma 1/(a^2+x^2)^3/2, e vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

A ideia é usar a substituição x=atantheta, pois assim a^2+x^2=a^2(1+tan^2theta)=a^2sec^2theta. Também temos
dx = asec^2theta,dtheta e (a^2+x^2)^3/2 = (a^2sec^2theta)^3/2 = a^3sec^3theta

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando os limites: quando x=0 temos theta=0, e quando x=a temos tantheta=1Rightarrowtheta=pi/4. Logo
I=integral0^adx(a^2+x^2)^3/2 = integral0^pi/4 asec^2thetaa^3sec^3theta,dtheta = 1a^2integral0^pi/4costheta,dtheta

Passo 4

Agora basta integrar costheta:
integral0^pi/4costheta,dtheta = [sintheta]0^pi/4 = sintfracpi4 - sin 0 = raiz22

Passo 5

Assim obtemos
I = 1a^2cdot raiz22 = 1a^2raiz2

Resposta

1a^2raiz2

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