Calcule a integral.
Passo 1
A gente quer calcular a integral
. Isso entra na categoria de integrais que envolvem raízes quadráticas e potências, e podemos usar substituições para levar a uma forma conhecida de função hipergeométrica.
Passo 2
Vamos usar a substituição
. Assim
e
Passo 3
Agora precisamos resolver
. Há uma fórmula padrão que dá em termos de
:
Passo 4
Aqui
e
, logo
$$\int y{s}(1+y{2})^{-1/2},dy
= \frac{y{s+1}}{s+1};{}_2F_1\Bigl(\tfrac12,\tfrac{s+1}{2};\tfrac{s+3}{2};-y{2}\Bigr)+C.$$
Passo 5
Voltando para
com
, obtemos
$$\int \frac{t{s}}{\sqrt{t{2}+2}},dt
= (\sqrt{2})^{s}\cdot \frac{\bigl(t/\sqrt{2}\bigr){s+1}}{s+1};{}_2F_1\Bigl(\tfrac12,\tfrac{s+1}{2};\tfrac{s+3}{2};-\tfrac{t{2}}{2}\Bigr)+C.$$
Passo 6
Simplificando
e organizando, chegamos ao resultado final.