Calcule a integral.
integral t^sraizt^2+2 d t

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral t^sraizt^2+2,dt. Isso entra na categoria de integrais que envolvem raízes quadráticas e potências, e podemos usar substituições para levar a uma forma conhecida de função hipergeométrica.

Passo 2

Vamos usar a substituição t=raiz2,y. Assim dt=raiz2,dy e

Passo 3

Agora precisamos resolver integral y^s(1+y^2)^-1/2,dy. Há uma fórmula padrão que dá em termos de 2F1:
integral y^nu(1+y^2)^mu,dy = y^nu+1nu+1;2F1l(-mu,tfracnu+12;tfracnu+32;-y^2r)+C

Passo 4

Aqui nu=s e mu=-tfrac12, logo
$$\int y{s}(1+y{2})^{-1/2},dy
= \frac{y{s+1}}{s+1};{}_2F_1\Bigl(\tfrac12,\tfrac{s+1}{2};\tfrac{s+3}{2};-y{2}\Bigr)+C.$$

Passo 5

Voltando para t com y=t/raiz2, obtemos
$$\int \frac{t{s}}{\sqrt{t{2}+2}},dt
= (\sqrt{2})^{s}\cdot \frac{\bigl(t/\sqrt{2}\bigr){s+1}}{s+1};{}_2F_1\Bigl(\tfrac12,\tfrac{s+1}{2};\tfrac{s+3}{2};-\tfrac{t{2}}{2}\Bigr)+C.$$

Passo 6

Simplificando (raiz2)^s(t/raiz2)^s+1=(t^s+1)/raiz2 e organizando, chegamos ao resultado final.

Resposta

t^s+1(s+1),raiz2;2F1l(tfrac12,tfracs+12;tfracs+32;-tfract^22r)+C

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