Questão 1
Determine a função vetorial que represente a curva dada pela intersecção das super
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar a função vetorial que representa a curva formada pela interseção das duas superfícies dadas:
e
. Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com curvas geradas pela interseção de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar uma das equações e usar essa parametrização para encontrar a outra variável.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação
. Essa é a equação de um cilindro circular de raio 2, alinhado com o eixo z. Para parametrizar essa circunferência no plano xy, a gente pode usar funções trigonométricas, já que elas descrevem círculos de forma natural. A gente define um parâmetro
, que geralmente é o ângulo no círculo, e expressa
e
em termos de
.
Então, temos:
Isso porque
, e multiplicando por 2 ao quadrado, a gente ajusta para o raio ser 2.
Passo 3
Agora que temos
e
em termos do parâmetro
, precisamos encontrar
. A segunda equação nos dá
. Como já expressamos
em termos de
, é só substituir:
Passo 4
Agora, juntando tudo isso, a função vetorial que descreve a curva de interseção vai ter três componentes:
,
e
. Então, podemos escrever a função vetorial
como:
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é: