Questão 1
Determine a função vetorial que represente a curva dada pela intersecção das super x^2+y^2=4 e z=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar a função vetorial que representa a curva formada pela interseção das duas superfícies dadas: x^2 + y^2 = 4 e z = x^2. Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com curvas geradas pela interseção de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar uma das equações e usar essa parametrização para encontrar a outra variável.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação x^2 + y^2 = 4. Essa é a equação de um cilindro circular de raio 2, alinhado com o eixo z. Para parametrizar essa circunferência no plano xy, a gente pode usar funções trigonométricas, já que elas descrevem círculos de forma natural. A gente define um parâmetro t, que geralmente é o ângulo no círculo, e expressa x e y em termos de t.
Então, temos:
x = 2cos(t)
y = 2sin(t)
Isso porque cos^2(t) + sin^2(t) = 1, e multiplicando por 2 ao quadrado, a gente ajusta para o raio ser 2.

Passo 3

Agora que temos x e y em termos do parâmetro t, precisamos encontrar z. A segunda equação nos dá z = x^2. Como já expressamos x em termos de t, é só substituir:
z = (2cos(t))^2 = 4cos^2(t)

Passo 4

Agora, juntando tudo isso, a função vetorial que descreve a curva de interseção vai ter três componentes: x(t), y(t) e z(t). Então, podemos escrever a função vetorial r(t) como:
r(t) = lang<= 2cos(t), 2sin(t), 4cos^2(t) rang<=

Resposta

A função vetorial que representa a curva de interseção é:
r(t) = lang<= 2cos(t), 2sin(t), 4cos^2(t) rang<=

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