Calcule a integral: integral0^1 d xx^3+x^2+x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral0^1 dxx^3 + x^2 + x + 1. Isso envolve técnicas de cálculo integral, especialmente a fração parcial. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2 + x + 1. Observando os termos, percebemos que podemos agrupar assim:
x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x) + (x^2 + 1) = x(x^2 + 1) + 1(x^2 + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)
Então, o denominador fatorado fica (x + 1)(x^2 + 1).

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos decompô-lo em frações parciais. Queremos escrever:
1(x + 1)(x^2 + 1) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 + 1
Aqui, A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x + 1)(x^2 + 1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)
Expandindo os termos:
1 = A x^2 + A + Bx(x) + Bx(1) + C(x) + C(1) = A x^2 + A + B x^2 + Bx + Cx + C
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + (B + C) x + (A + C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x dos dois lados da equação:
A + B = 0 (coeficiente de x^2) B + C = 0 (coeficiente de x) A + C = 1 (termo constante)
Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A = -B
  2. Da segunda equação: C = -B
  3. Substituindo na terceira equação: -B + (-B) = 1 Rightarrow -2B = 1 Rightarrow B = -12
Então:
A = -B = 12, C = -B = 12

Passo 6

Com os valores de A, B e C determinados, a decomposição em frações parciais fica:
1(x + 1)(x^2 + 1) = 12x + 1 + -12x + 12x^2 + 1
Podemos simplificar um pouco mais:
1(x + 1)(x^2 + 1) = 12 cdot 1x + 1 + 12 cdot 1 - xx^2 + 1

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x + 1)(x^2 + 1) dx = 12 integral 1x + 1 dx + 12 integral 1 - xx^2 + 1 dx
Vamos resolver cada integral:
  1. 12 integral 1x + 1 dx = 12 ln|x + 1|
  2. 12 integral 1 - xx^2 + 1 dx = 12 ( integral 1x^2 + 1 dx - integral xx^2 + 1 dx )
Sabemos que:
  • integral 1x^2 + 1 dx = tan^-1(x)
  • integral xx^2 + 1 dx = 12 ln|x^2 + 1|
Então:
12 ( tan^-1(x) - 12 ln(x^2 + 1) )

Passo 8

Colocando tudo junto, a integral fica:
12 ln|x + 1| + 12 tan^-1(x) - 14 ln(x^2 + 1) + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar nos limites:
[ 12 ln(x + 1) + 12 tan^-1(x) - 14 ln(x^2 + 1) ]0^1

Passo 9

Vamos calcular para x = 1:
12 ln(2) + 12 tan^-1(1) - 14 ln(2)
E para x = 0:
12 ln(1) + 12 tan^-1(0) - 14 ln(1) = 0
Então, a diferença é:
12 ln(2) + 12 cdot pi4 - 14 ln(2) = 14 ln(2) + pi8

Resposta

O valor da integral é pi8 + 14 ln(2).

Exercícios relacionados