Verifique, pela definição, que f é derivável em x=1. Onde f(x)= & x^2+3 x, se & 5 x-1, se & 5>1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de derivada, que a função f dada por
f(x)= x^2+3x,&x<=1, 5x-1,&x>1
é derivável em x=1. O conteúdo é derivada na definição f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h. Vamos usar essa definição e cuidar das duas direções (h>0 e h<0).

Passo 2

Antes de mais nada, calculemos f(1). Como 1 pertence à região x<=1, temos:
f(1)=1^2+3cdot1=4

Passo 3

Agora analisemos o quociente de diferenças para h>0. Nesse caso, 1+h>1, então usamos a expressão 5x-1:
f(1+h)=5(1+h)-1=4+5h
Logo,
f(1+h)-f(1)h=(4+5h)-4h=5
O limite quando hto0^+ é 5.

Passo 4

Para h<0, temos 1+h<1, então usamos x^2+3x:
f(1+h)=(1+h)^2+3(1+h)=4+5h+h^2
Assim,
f(1+h)-f(1)h=(4+5h+h^2)-4h=5+h
O limite quando hto0^- é também 5.

Passo 5

Como os limites laterais coincidem e são finitos, concluímos que
$$
f’(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=5.
$$
Portanto, f é derivável em x=1 e sua derivada ali vale 5.

Resposta

f é derivável em x=1 e f’(1)=5.

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