Verifique, pela definição, que
é derivável em
. Onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de derivada, que a função f dada por
é derivável em x=1. O conteúdo é derivada na definição
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h . Vamos usar essa definição e cuidar das duas direções (h>0 e h<0).
Passo 2
Antes de mais nada, calculemos
f(1) . Como 1 pertence à região
x<=1 , temos:
Passo 3
Agora analisemos o quociente de diferenças para
h>0 . Nesse caso,
1+h>1 , então usamos a expressão
5x-1 :
Logo,
O limite quando
hto0^+ é 5.
Passo 4
Para
h<0 , temos
1+h<1 , então usamos
x^2+3x :
Assim,
O limite quando
hto0^- é também 5.
Passo 5
Como os limites laterais coincidem e são finitos, concluímos que
$$
f’(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=5.
f’(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=5.
$$
Portanto, f é derivável em x=1 e sua derivada ali vale 5.
Portanto, f é derivável em x=1 e sua derivada ali vale 5.
Resposta
f é derivável em x=1 e f’(1)=5.