Determine se a integral imprópria converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo que pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Nossa matéria envolve integrais impropriamente definidas, e para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito, além de aplicar testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observamos que $ \sqrt{x^{5}} $ pode ser reescrito como $ x^{5/2} $. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para determinar se essa integral converge ou diverge, podemos utilizar o Teste da Comparação. Esse teste é útil para comparar nossa integral com uma integral cuja convergência ou divergência já conhecemos.
Passo 4
Vamos comparar nossa função $ f(x) = \frac{\ln (x)}{x^{5/2}} $ com uma função mais simples, como $ g(x) = \frac{1}{x^{p}} $, onde $ p $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 5
Para grandes valores de $ x $, o termo $ \ln (x) $ cresce mais devagar que qualquer potência de $ x $, então podemos dizer que $ \ln (x) $ é menor que $ x^{1/2} $ para $ x $ suficientemente grande. Assim,
Passo 6
Sabemos que a integral $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} , dx $ converge, pois $ p = 2 > 1 $. De acordo com o Teste da Comparação, se $ f(x) \leq g(x) $ e $ \int g(x) , dx $ converge, então $ \int f(x) , dx $ também converge.
Passo 7
Portanto, concluímos que a integral original
converge.
Resposta
A integral imprópria $ \int_{1}^{\infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x^{5}}} , dx $ converge.