Seja R a região delimitada por y=5-x^2 e y=4x^2.
Calcule a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região R, que é delimitada por duas curvas: $ y = 5 - x^{2} $ e $ y = \frac{4}{x^{2}} $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a área entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e, em seguida, calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
5 - x^2 = 4x^2
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $ para eliminar o denominador:
x^2
Simplificando:
x^2(5 - x^2) = 4
Rearranjando:
5x^2 - x^4 = 4

Passo 4

Essa é uma equação do 4º grau, mas podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar $ u = x^{2} $, então a equação fica:
u = x^2
Resolvendo essa equação quadrática.

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ u^{2} - 5u + 4 = 0 $:
u^2 - 5u + 4 = 0
Assim, temos duas soluções:
u = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Lembrando que $ u = x^{2} $:
Para $ u = 4 $:
u = 5 + 32 = 4 e u = 5 - 32 = 1
Para $ u = 1 $:
u = x^2
Então, os pontos de interseção são $ x = -2, -1, 1, 2 $.

Passo 6

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos analisar um valor de $ x $ em cada intervalo:
  1. Para $ x $ entre -2 e -1: Vamos escolher $ x = -1,5 $
    x
    x
    Aqui, $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{4}{x^{2}} $.
  2. Para $ x $ entre -1 e 1: Vamos escolher $ x = 0 $ (mas $ x = 0 $ não está definido para a segunda função, então consideramos que não há área nesse intervalo).
  3. Para $ x $ entre 1 e 2: Vamos escolher $ x = 1,5 $
    x = -1,5
    y = 5 - (-1,5)^2 = 5 - 2,25 = 2,75
    Novamente, $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{4}{x^{2}} $.

Passo 7

Agora que sabemos que $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{4}{x^{2}} $ nos intervalos de $ x = -2 $ a $ x = -1 $ e de $ x = 1 $ a $ x = 2 $, vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somá-las.
A fórmula para a área entre duas curvas é:
y = 5 - x^2 Á

Passo 8

Calculando a área de $ x = -2 $ a $ x = -1 $:
x = -2 Á
E a área de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
x = -1 Á

Passo 9

Vamos calcular $ Área_1 $:
Área1
Aplicando os limites de -2 a -1:
integral (5 - x^2 - 4x^2) dx = 5x - x^33 + 4x + C Á
Calculando:
Área1 = [5(-1) - (-1)^33 + 4-1] - [5(-2) - (-2)^33 + 4-2] Á

Passo 10

Calculando $ Área_2 $:
Área2
Aplicando os limites de 1 a 2:
integral (5 - x^2 - 4x^2) dx = 5x - x^33 + 4x + C Á
Calculando:
Área2 = [5(2) - 2^33 + 42] - [5(1) - 1^33 + 41] Á

Resposta

Somando as duas áreas calculadas:
Área total = Área1 + Área2 = 23 + 23 = 43 ÁÁÁ
Então, a área da região $ R $ é $ \frac{4}{3} $ unidades de área.

Exercícios relacionados