Seja R a região delimitada por
e
.
Calcule a área da região R.
Calcule a área da região R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região R, que é delimitada por duas curvas: $ y = 5 - x^{2} $ e $ y = \frac{4}{x^{2}} $. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a área entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e, em seguida, calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $ para eliminar o denominador:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 4
Essa é uma equação do 4º grau, mas podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar $ u = x^{2} $, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática.
Passo 5
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ u^{2} - 5u + 4 = 0 $:
Assim, temos duas soluções:
Lembrando que $ u = x^{2} $:
Para $ u = 4 $:
Para $ u = 1 $:
Então, os pontos de interseção são $ x = -2, -1, 1, 2 $.
Passo 6
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos analisar um valor de $ x $ em cada intervalo:
-
Para $ x $ entre -2 e -1: Vamos escolher $ x = -1,5 $Aqui, $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{4}{x^{2}} $.
-
Para $ x $ entre -1 e 1: Vamos escolher $ x = 0 $ (mas $ x = 0 $ não está definido para a segunda função, então consideramos que não há área nesse intervalo).
-
Para $ x $ entre 1 e 2: Vamos escolher $ x = 1,5 $Novamente, $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{4}{x^{2}} $.
Passo 7
Agora que sabemos que $ y = 5 - x^{2} $ está acima de $ y = \frac{4}{x^{2}} $ nos intervalos de $ x = -2 $ a $ x = -1 $ e de $ x = 1 $ a $ x = 2 $, vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somá-las.
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Passo 8
Calculando a área de $ x = -2 $ a $ x = -1 $:
E a área de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
Passo 9
Vamos calcular $ Área_1 $:
Aplicando os limites de -2 a -1:
Calculando:
Passo 10
Calculando $ Área_2 $:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Calculando:
Resposta
Somando as duas áreas calculadas:
Então, a área da região $ R $ é $ \frac{4}{3} $ unidades de área.