Calcule as primitivas abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar $ u = 1 + \sin x $. Isso vai ajudar a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u $ em relação a $ x $ para encontrar $ du $. Sabemos que a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, então:
Passo 4
Com a substituição feita, podemos reescrever a integral original em termos de $ u $. Substituindo $ \cos x , dx $ por $ du $ e $ 1 + \sin x $ por $ u $, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que
, e a integral de $ u^n $ em relação a $ u $ é $ \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Então:
Passo 6
Finalmente, vamos substituir $ u $ de volta pela expressão original em termos de $ x $. Lembrando que $ u = 1 + \sin x $, temos:
Resposta
A primitiva da integral é: