Denotemos por C o arco, no primeiro octante, da curva em que o paraboloide 2 z= 16-x^2-y^2 intercepta o plano x+y=4. Determine os pontos de C mais próximos e mais afastados da origem. Determine a maior e a menor distância da origem a C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um arco $ C $ que está no primeiro octante (ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos) e é formado pela interseção de um paraboloide $ 2z = 16 - x^2 - y^2 $ com o plano $ x + y = 4 $. Nosso objetivo é encontrar quais pontos desse arco $ C $ estão mais próximos e mais longe da origem (o ponto $ (0, 0, 0) $). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como distância entre pontos no espaço e otimização usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação que descreve o arco $ C $. Sabemos que $ C $ é a interseção do paraboloide $ 2z = 16 - x^2 - y^2 $ com o plano $ x + y = 4 $. Podemos substituir $ y = 4 - x $ na equação do paraboloide para eliminar uma variável:
C

Passo 3

Vamos simplificar essa equação:
2z = 16 - x^2 - (16 - 8x + x^2) 2z = 16 - x^2 - 16 + 8x - x^2 2z = -2x^2 + 8x z = -x^2 + 4x
Então, agora temos $ z $ em termos de $ x $, e como $ y = 4 - x $, podemos parametrizar o arco $ C $ por $ x $:
z

Passo 4

Agora, queremos encontrar a distância da origem $ (0, 0, 0) $ a um ponto qualquer $ (x, y, z) $ no arco $ C $. A fórmula para a distância $ d $ é:
(0, 0, 0)
Substituindo $ y = 4 - x $ e $ z = -x^2 + 4x $:
(x, y, z)

Passo 5

Para facilitar os cálculos, vamos minimizar (encontrar o menor $ d $) e maximizar (encontrar o maior $ d $) a função $ d(x) $. Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar e maximizar $ d(x)^2 $ em vez de $ d(x) $:
d
Vamos expandir e simplificar:
d
Simplificando mais:
d(x)

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos de mínimo e máximo, vamos derivar $ d^2(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
d^2(x)
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de $ x $ que nos dão os pontos mais próximos e mais afastados.

Passo 7

Podemos tentar fatorar a equação cúbica. Testando $ x = 1 $:
x = 1
Então, $ x = 1 $ é uma raiz. Vamos fatorar $ x - 1 $:
4(1)^3 - 24(1)^2 + 44(1) - 24 = 4 - 24 + 44 - 24 = 0
Agora, resolvemos $ 4x^2 - 20x + 24 = 0 $:
x = 1
Assim, $ x = 3 $ ou $ x = 2 $

Passo 8

Agora, temos três valores de $ x $: 1, 2 e 3. Vamos verificar em qual deles a distância $ d(x) $ é mínima e máxima.
Para $ x = 1 $:
x
Para $ x = 2 $:
d(x)
Para $ x = 3 $:
x = 1

Resposta

Os pontos de $ C $ mais próximos da origem são $ (1, 3, 3) $ e $ (3, 1, 3) $, ambos com distância aproximadamente $ 4,36 $ unidades. O ponto mais afastado é $ (2, 2, 4) $, com distância aproximadamente $ 4,90 $ unidades. Assim, a menor distância da origem a $ C $ é $ \sqrt{19} $ e a maior distância é $ \sqrt{24} $.

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