Denotemos por
o arco, no primeiro octante, da curva em que o paraboloide
intercepta o plano
. Determine os pontos de
mais próximos e mais afastados da origem. Determine a maior e a menor distância da origem a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um arco $ C $ que está no primeiro octante (ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos) e é formado pela interseção de um paraboloide $ 2z = 16 - x^2 - y^2 $ com o plano $ x + y = 4 $. Nosso objetivo é encontrar quais pontos desse arco $ C $ estão mais próximos e mais longe da origem (o ponto $ (0, 0, 0) $). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como distância entre pontos no espaço e otimização usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação que descreve o arco $ C $. Sabemos que $ C $ é a interseção do paraboloide $ 2z = 16 - x^2 - y^2 $ com o plano $ x + y = 4 $. Podemos substituir $ y = 4 - x $ na equação do paraboloide para eliminar uma variável:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação:
Então, agora temos $ z $ em termos de $ x $, e como $ y = 4 - x $, podemos parametrizar o arco $ C $ por $ x $:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a distância da origem $ (0, 0, 0) $ a um ponto qualquer $ (x, y, z) $ no arco $ C $. A fórmula para a distância $ d $ é:
Substituindo $ y = 4 - x $ e $ z = -x^2 + 4x $:
Passo 5
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar (encontrar o menor $ d $) e maximizar (encontrar o maior $ d $) a função $ d(x) $. Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar e maximizar $ d(x)^2 $ em vez de $ d(x) $:
Vamos expandir e simplificar:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos de mínimo e máximo, vamos derivar $ d^2(x) $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de $ x $ que nos dão os pontos mais próximos e mais afastados.
Passo 7
Podemos tentar fatorar a equação cúbica. Testando $ x = 1 $:
Então, $ x = 1 $ é uma raiz. Vamos fatorar $ x - 1 $:
Agora, resolvemos $ 4x^2 - 20x + 24 = 0 $:
Assim, $ x = 3 $ ou $ x = 2 $
Passo 8
Agora, temos três valores de $ x $: 1, 2 e 3. Vamos verificar em qual deles a distância $ d(x) $ é mínima e máxima.
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 3 $:
Resposta
Os pontos de $ C $ mais próximos da origem são $ (1, 3, 3) $ e $ (3, 1, 3) $, ambos com distância aproximadamente $ 4,36 $ unidades. O ponto mais afastado é $ (2, 2, 4) $, com distância aproximadamente $ 4,90 $ unidades. Assim, a menor distância da origem a $ C $ é $ \sqrt{19} $ e a maior distância é $ \sqrt{24} $.