Calcule a integral integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x R: 18 (1-e^-16).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral4x^4e^-y^2,dy,dx
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, porque integrar e^-y^2 em y não tem antiderivada elementar, mas integrar em x é trivial.

Passo 2

Descrevemos a região de integração D no plano (x,y):
- x varia de 0 a 1.
- Para cada x, y varia de 4x até 4.
Em vez de integrar primeiro em y, vamos trocar a ordem. Na região D, o menor valor de y ocorre quando x=0, ou seja y=0, e o maior é y=4. Para um y fixo entre 0 e 4, x varia de 0 até y/4. Logo podemos escrever
integral0^1integral4x^4e^-y^2,dy,dx =integraly=0^4integralx=0^y/4e^-y^2,dx,dy

Passo 3

No integrando e^-y^2 não depende de x, então a integral interna em x é simples:
integralx=0^y/4e^-y^2,dx =e^-y^2integral0^y/4dx =e^-y^2cdoty4
Assim ficamos com
integral0^4 y4,e^-y^2,dy =14integral0^4y,e^-y^2,dy

Passo 4

Para resolver integral0^4y,e^-y^2,dy, fazemos a substituição
t = y^2, dt = 2y,dy, y,dy = dt2
Quando y=0, t=0; quando y=4, t=16. Então
integral0^4y,e^-y^2,dy =integralt=0^16e^-t,dt2 =12integral0^16e^-t,dt

Passo 5

A integral de e^-t é -e^-t, logo
12integral0^16e^-t,dt =12l[-e^-tr]0^16 =12l(-e^-16+e^0r) =12l(1-e^-16r)
Não esqueça o fator tfrac14 que já estava fora:
14times 12l(1-e^-16r) =18l(1-e^-16r)

Resposta

18l(1 - e^-16r)

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