Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração, porque integrar
em
não tem antiderivada elementar, mas integrar em
é trivial.
Passo 2
Descrevemos a região de integração
no plano
:
- varia de
a
.
- Para cada ,
varia de
até
.
Em vez de integrar primeiro em , vamos trocar a ordem. Na região
, o menor valor de
ocorre quando
, ou seja
, e o maior é
. Para um
fixo entre
e
,
varia de
até
. Logo podemos escrever
-
- Para cada
Em vez de integrar primeiro em
Passo 3
No integrando
não depende de
, então a integral interna em
é simples:
Assim ficamos com
Passo 4
Para resolver
, fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Então
Passo 5
A integral de
é
, logo
Não esqueça o fator
que já estava fora: