Expresse as seguintes somas de integrais como uma única integral
integral-2^3 f(x) d x+integral-1^3 f(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para escrever
integral-2^3f(x),dx + integral-1^3f(x),dx
como uma única integral. O que vamos usar é a linearidade da integral e a ideia de estender o domínio de integração de modo a somar as integrais num só intervalo.

Passo 2

Repare que podemos reescrever
integral-1^3f(x),dx
como uma integral sobre o mesmo intervalo de integral-2^3f(x),dx, isto é, sobre [-2,3], multiplicando f(x) por uma função indicadora de [-1,3]. Definimos
chi[-1,3](x)= 1,&xin[-1,3], 0,&caso contrário, á
então
integral-1^3f(x),dx =integral-2^3chi[-1,3](x),f(x),dx

Passo 3

Agora temos as duas integrais no mesmo intervalo [-2,3]. Pela linearidade da integral:
integral-2^3f(x),dx +integral-2^3chi[-1,3](x),f(x),dx =integral-2^3l[1+chi[-1,3](x)r],f(x),dx

Passo 4

Observamos que a função
1+chi[-1,3](x)
vale
1+chi[-1,3](x)= 1,&xin[-2,-1), 2,&xin[-1,3]
Logo, podemos escrever o integrando de forma piecewise.

Passo 5

Concluímos que
integral-2^3f(x),dx+integral-1^3f(x),dx =integral-2^3g(x),f(x),dx,
onde
g(x)= 1,&-2<= x< -1, 2,&-1<= x<= 3

Resposta

boxed integral-2^3f(x),dx + integral-1^3f(x),dx = integral-2^3 1,&-2<= x< -1, 2,&-1<= x<= 3 ,f(x),dx

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