Diga se as seguintes equações diferenciais são lineares e justifique sua resposta:
y^{\prime}=(\operatorname{sen} y)+x^{2}
y^{\prime}=(\operatorname{sen} y)+x^{2}
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e pede para identificarmos se ela é linear. O conteúdo aqui é “equação diferencial linear versus não linear” e vamos precisar usar a definição de linearidade em equações diferenciais.
Passo 2
Uma equação diferencial de ordem
é dita linear se pode ser escrita na forma
onde as funções
e
dependem somente de
, e a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (i.e., sem estarem dentro de funções não lineares ou multiplicadas entre si).
Passo 3
Na equação
o termo
faz com que a incógnita
apareça dentro de uma função trigonométrica, ou seja, de forma não linear. Isso impede que escrevamos a equação no formato linear acima, pois não há como representar
como
.
Resposta
A equação diferencial é não linear, pois
aparece de modo não linear dentro de
.