Diga se as seguintes equações diferenciais são lineares e justifique sua resposta:
y^{\prime}=(\operatorname{sen} y)+x^{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y' = sin(y) + x^2
e pede para identificarmos se ela é linear. O conteúdo aqui é “equação diferencial linear versus não linear” e vamos precisar usar a definição de linearidade em equações diferenciais.

Passo 2

Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se pode ser escrita na forma
an(x),y^(n) + an-1(x),y^(n-1) + cdots + a1(x),y' + a0(x),y = g(x),
onde as funções ai(x) e g(x) dependem somente de x, e a incógnita y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (i.e., sem estarem dentro de funções não lineares ou multiplicadas entre si).

Passo 3

Na equação
y' = sin(y) + x^2
o termo sin(y) faz com que a incógnita y apareça dentro de uma função trigonométrica, ou seja, de forma não linear. Isso impede que escrevamos a equação no formato linear acima, pois não há como representar sin(y) como a0(x),y.

Resposta

A equação diferencial é não linear, pois y aparece de modo não linear dentro de sin(y).

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