Calcule a integral
integral0^1(integrale^x^e x e^y(ln y)^2 d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é a seguinte:
integral0^1(integrale^x^e x e^y(ln y)^2 , dy) dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem duas integrais aninhadas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O primeiro integral é em relação a $ y $ de $ \mathrm{e}^{x} $ até $ e $, e o segundo integral é em relação a $ x $ de 0 a 1. Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1, e para cada $ x $, $ y $ varia de $ \mathrm{e}^{x} $ até $ e $.
Vamos desenhar isso no plano $ xy $ para entender melhor:
  • Quando $ x = 0 $, $ y $ varia de $ \mathrm{e}^{0} = 1 $ até $ e $.
  • Quando $ x = 1 $, $ y $ varia de $ \mathrm{e}^{1} = e $ até $ e $.
Então, a região fica entre $ x = 0 $ a $ x = 1 $ e $ y = 1 $ a $ y = e $, mas com $ y \geq \mathrm{e}^{x} $.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos recalcular os limites de $ x $ e $ y $:
  • $ y $ varia de 1 a $ e $.
  • Para um dado $ y $, $ x $ varia de 0 até $ \ln y $ (pois $ y = \mathrm{e}^{x} $ implica $ x = \ln y $).
Então, a integral fica:
x

Passo 4

Vamos resolver o integral interno em relação a $ x $:
x
Como $ e^{y} $ e $ (\ln y)^{2} $ são constantes em relação a $ x $, podemos tirá-los da integral:
integral0^ln y x e^y(ln y)^2 , dx
A integral de $ x , dx $ é:
e^y
Então, avaliando de 0 a $ \ln y $:
(ln y)^2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado do integral interno de volta na integral externa:
integral1^e e^y2 , dy
Podemos tirar a constante $ \frac{1}{2} $ para fora da integral:
12

Passo 6

Vamos resolver a integral de $ e^{y} , dy $:
e^y , dy
Então, avaliando de 1 a $ e $:
integral e^y , dy = e^y + C
Multiplicando pela constante $ \frac{1}{2} $:
e

Resposta

A integral vale:
e^e - e2

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