Seja f(x, y, z)=ln (x+y+z), onde x=t, y=t^2 e z=t^3. Calcule d fd t.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y, z) = \ln(x + y + z) $, onde $ x = t $, $ y = t^2 $ e $ z = t^3 $. Precisamos encontrar a derivada de $ f $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{df}{dt} $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que $ f $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, que por sua vez dependem de $ t $. A regra da cadeia nos diz que a derivada total de $ f $ em relação a $ t $ é a soma das derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável, multiplicadas pela derivada dessa variável em relação a $ t $. Matematicamente, isso fica assim:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
f

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $.
x

Passo 5

Substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que montamos no Passo 2.
dfdt = 1x + y + z cdot 1 + 1x + y + z cdot 2t + 1x + y + z cdot 3t^2

Passo 6

Podemos simplificar a expressão fatorando $ \frac{1}{x + y + z} $ em comum.
1x + y + z

Passo 7

Por fim, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ pelas suas expressões em termos de $ t $.
x

Resposta

Portanto, a derivada de $ f $ em relação a $ t $ é:
f

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