Seja
, onde
e
. Calcule
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y, z) = \ln(x + y + z) $, onde $ x = t $, $ y = t^2 $ e $ z = t^3 $. Precisamos encontrar a derivada de $ f $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{df}{dt} $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que $ f $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, que por sua vez dependem de $ t $. A regra da cadeia nos diz que a derivada total de $ f $ em relação a $ t $ é a soma das derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável, multiplicadas pela derivada dessa variável em relação a $ t $. Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 4
Em seguida, calculamos as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $.
Passo 5
Substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia que montamos no Passo 2.
Passo 6
Podemos simplificar a expressão fatorando $ \frac{1}{x + y + z} $ em comum.
Passo 7
Por fim, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ pelas suas expressões em termos de $ t $.
Resposta
Portanto, a derivada de $ f $ em relação a $ t $ é: