Determine partial zpartial x e partial zpartial y :
raizx+y+z=x ln (z)+z e^-y

Passo 1

Neste exercício temos a seguinte equação implícita envolvendo as variáveis x, y e z:
raizx+y+z ,=, xln(z) ,+, z e^-y
O conteúdo da matéria é diferenciação implícita de funções definidas por F(x,y,z)=0, e vamos precisar usar a regra que diz:
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = raizx+y+z - xln(z) - z e^-y,
e calculamos a derivada parcial de F em relação a x, tratando y e z como constantes. Para a raiz usamos regra da cadeia, e para x\ln(z) derivamos em x mantendo z constante. Obtém-se
Fx = 12raizx+y+z - ln(z)

Passo 3

Agora derivamos F em relação a y, tratando x e z como constantes. A raiz dá 1/(2raizx+y+z) e para z e^-y temos derivada -z e^-y, lembrando do sinal menos de F. Assim
Fy = 12raizx+y+z + z e^-y

Passo 4

Em seguida derivamos F em relação a z, tratando x e y como constantes. Pela raiz vem 1/(2raizx+y+z), por xln(z) vem xcdot(1/z) e por z e^-y vem e^-y. Logo
Fz = 12raizx+y+z - xz - e^-y

Passo 5

Finalmente aplicamos as fórmulas da diferenciação implícita:
partial zpartial x = -FxFz = - 12raizx+y+z - ln(z) 12raizx+y+z - xz - e^-y,
partial zpartial y = -FyFz = - 12raizx+y+z + z e^-y 12raizx+y+z - xz - e^-y

Resposta

partial zpartial x = -12raizx+y+z - ln(z)12raizx+y+z - xz - e^-y, partial zpartial y = -12raizx+y+z + z e^-y12raizx+y+z - xz - e^-y

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