Calcule a integral.
Passo 1
Resumindo, queremos calcular a integral dupla
. O assunto é troca de ordem de integração e cálculo de integrais definidas.
Passo 2
Descrevemos a região
no plano
:
e
. Invertendo a ordem, vemos que
varia de 0 a 2 e, para cada
,
varia de 0 a
. Assim a integral vira:
Na integral interna
é constante em
, então
.
Passo 3
Substituindo, a integral passa a ser
. Para resolver, usamos a substituição
, logo
, ou seja
.
Passo 4
A integral em
fica
. Integrando, obtemos
.