Calcule a integral.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 d x d y

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral dupla integral0^8integralraiz[3]y^2e^x^4,dx,dy. O assunto é troca de ordem de integração e cálculo de integrais definidas.

Passo 2

Descrevemos a região D no plano xy: 0<= y<=8 e raiz[3]y<= x<=2. Invertendo a ordem, vemos que x varia de 0 a 2 e, para cada x, y varia de 0 a x^3. Assim a integral vira:
integral0^2integral0^x^3e^x^4,dy,dx
Na integral interna e^x^4 é constante em y, então integral0^x^3e^x^4,dy = x^3e^x^4.

Passo 3

Substituindo, a integral passa a ser integral0^2x^3e^x^4,dx. Para resolver, usamos a substituição u = x^4, logo du = 4x^3,dx, ou seja x^3,dx = du/4.

Passo 4

A integral em u fica tfrac14integral0^16e^u,du. Integrando, obtemos tfrac14(e^u)|0^16 = tfrace^16-14.

Resposta

tfrace^16-14

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