Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se observa que após 1 hora, houve uma redução de 10 % da quantidade inicial. Determine a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).
R. t=ln 2ln 10-ln 9

Passo 1

O enunciado diz que a substância decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente, então podemos usar a lei do decaimento exponencial. O modelo geral é Q(t)=Q0 e^-k t, onde k é a constante de decaimento. Precisamos encontrar k a partir da redução de 10% em 1 hora e depois calcular a meia-vida t1/2.

Passo 2

Após 1 hora ocorre redução de 10%, ou seja, Q(1)=0,9,Q0. Substituindo no modelo:
0,9,Q0 = Q0 e^-kcdot1

Passo 3

Cancelando Q0 em ambos os lados e tomando ln em ambos os lados:
e^-k=0,9 implies -k = ln(0,9) implies k = -ln(0,9) = lnl(tfrac10,9r) = ln(10)-ln(9)

Passo 4

A meia-vida t1/2 é o tempo necessário para Q(t1/2)=Q0/2. Aplicando ao modelo:
Q02=Q0 e^-k t1/2 implies e^-k t1/2=tfrac12 implies -k t1/2=lnl(tfrac12r)=-ln2

Passo 5

Isolando t1/2 e substituindo k=ln10-ln9:
t1/2=ln2k=ln2ln10-ln9

Resposta

t=ln2ln10-ln9

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