Encontre f(4) dado que f^prime prime(x)=6x^2 e f^prime(13)=2 e f(1)=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função $ f(x) $ cuja segunda derivada é $ f’’(x) = \frac{6}{x^{2}} $. A gente também sabe que $ f’\left(\frac{1}{3}\right) = 2 $ e $ f(1) = 5 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ f(4) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivação e integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ a partir da segunda derivada $ f’’(x) = \frac{6}{x^{2}} $. Para isso, vamos integrar $ f’’(x) $ em relação a $ x $.
f'(x)
Sabemos que $ \int \frac{1}{x^{2}} , dx = -\frac{1}{x} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando isso:
f''(x) = 6x^2

Passo 3

Agora, vamos usar a informação $ f’\left(\frac{1}{3}\right) = 2 $ para encontrar a constante $ C $.
Substituindo $ x = \frac{1}{3} $ e $ f’\left(\frac{1}{3}\right) = 2 $ na equação:
f'(13) = 2
Então, a primeira derivada fica:
C

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função $ f(x) $ integrando a primeira derivada $ f’(x) = -\frac{6}{x} + 20 $.
f(x)
Sabemos que $ \int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| $ e $ \int 20 , dx = 20x $. Então:
f'(x) = -6x + 20
onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 5

Vamos usar a informação $ f(1) = 5 $ para encontrar $ D $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ f(1) = 5 $ na equação:
f(1) = 5
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
D
Portanto, a função fica:
x = 1

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar $ f(4) $ substituindo $ x = 4 $ na função $ f(x) $:
f(4)
Calculando:
x = 4

Resposta

Portanto, $ f(4) = -6 \ln(4) + 65 $.

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