Calcule a integral integral0^4 integralraizx^2 sen(y^3) d y d x por mudar a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^4 integralraizx^2 sin(y^3),dy,dx trocando a ordem de integração; o conteúdo envolvido é integrais duplas e mudança de ordem para simplificar o cálculo.

Passo 2

Para entender a região de integração, note que temos 0 ≤ x ≤ 4 e raizx <= y <= 2. Isso equivale à região R = (x,y): 0 <= x <= y^2, 0 <= y <= 2. Assim, em vez de integrar primeiro em y, podemos escrever
integral0^2 integral0^y^2 sin(y^3),dx,dy

Passo 3

Na integral interna a função sin(y^3) é constante em relação a x, logo
integral0^y^2 sin(y^3),dx = sin(y^3) cdot l[xr]0^y^2 = y^2,sin(y^3)

Passo 4

Restou a integral simples integral0^2 y^2sin(y^3),dy. Fazendo a substituição u = y^3, temos du = 3y^2,dy, logo y^2,dy = du/3 e os limites vão de u(0)=0 a u(2)=8. A integral vira
integral0^2 y^2sin(y^3),dy = 13integral0^8 sin(u),du = 13l[-cos(u)r]0^8 = 13l(1 - cos(8)r)

Resposta

1 - cos(8)3

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