Calcule a integral integralegral duplaD x^2 y d A, onde D é a região
D=(x, y) in R^2 / 1 <= x <= 3 e 1 / x <= y <= raizx
Esboce a região.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral dupla de f(x,y)=x^2y sobre a região D=(x,y)mid 1<= x<=3,;1/x<= y<=raizx. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando a ordem dA=dy,dx.

Passo 2

Esboço da região: desenhe no plano as curvas y=1/x (decrescente de (1,1) a (3,1/3)) e y=raizx (crescente de (1,1) a (3,raiz3)). A região D é o conjunto de pontos entre essas duas curvas para x variando de 1 a 3.

Passo 3

Montagem e integração em y:
integral duplaD x^2y,dA = integralx=1^3integraly=1/x^raizx x^2y,dy,dx
Para a integral interna:
integral1/x^raizx x^2y,dy = x^2 [y^22]y=1/x^y=raizx = x^22l(x - 1x^2r) = x^32 - 12

Passo 4

Integração em x e conclusão:
integral1^3l(x^32-12r)dx = 12 [x^44 - x]1^3 = 12l((tfrac814-3)-(tfrac14-1)r) =9

Resposta

9

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