Encontre o volume da região limitada por z=40-10 y, z=0, y=0 e y=4-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em que a superfície superior é dada por z=40−10y, a inferior é z=0, e as projeções em y satisfazem 0≤y≤4−x², com y≥0. O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integrais duplas, usando que V= ∬_D (z_top−z_bot) dA.

Passo 2

Para achar a projeção D no plano xy, notamos que y varia entre 0 e 4−x². Como 4−x²≥0, temos −2≤x≤2. Logo
D=(x,y): -2 <= x <= 2,;0 <= y <= 4 - x^2

Passo 3

Montamos a integral do volume substituindo z_top=40−10y e z_bot=0:
V=integralx=-2^2integraly=0^4-x^2(40-10y),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^4-x^2(40-10y),dy = l[40y -5y^2r]0^4-x^2 = 40(4-x^2)-5(4-x^2)^2
Expandindo e simplificando:
40(4-x^2)-5(16-8x^2+x^4)=160-40x^2-80+40x^2-5x^4=80-5x^4

Passo 5

Agora integramos em x: como 80−5x^4 é função par,
V=integral-2^2(80-5x^4),dx =2integral0^2(80-5x^4),dx
Calculando:
integral0^2(80-5x^4),dx = l[80x - x^5r]0^2 =160-32=128,
então V=2·128=256.

Passo 6

Portanto, o volume da região é 256 unidades cúbicas.

Resposta

256

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