Encontre o volume da região limitada por
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região em que a superfície superior é dada por z=40−10y, a inferior é z=0, e as projeções em y satisfazem 0≤y≤4−x², com y≥0. O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integrais duplas, usando que V= ∬_D (z_top−z_bot) dA.
Passo 2
Para achar a projeção D no plano xy, notamos que y varia entre 0 e 4−x². Como 4−x²≥0, temos −2≤x≤2. Logo
Passo 3
Montamos a integral do volume substituindo z_top=40−10y e z_bot=0:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em y:
Expandindo e simplificando:
Passo 5
Agora integramos em x: como 80−5x^4 é função par,
Calculando:
então V=2·128=256.
Passo 6
Portanto, o volume da região é 256 unidades cúbicas.
Resposta
256