Dado o PVI:
Encontre uma aproximação para c y^prime=y x^2-y y(0)=1 usando o Método de Taylor de y(0,8) Ordem, com 2^3.

Passo 1

Resumimos o PVI y'=y x^2 - y com condicional y(0)=1. Vamos aproximar y(0.8) pelo Método de Taylor de ordem 3 (isto é, incluindo até o termo y''') com passo h=0.2. Precisamos da função f(x,y), de suas derivadas parciais fx,fy e das expressões para y'' e y'''.

Passo 2

Definimos f(x,y)=y x^2 - y. As derivadas parciais são fx=2xy e fy=x^2-1. A segunda derivada de y satisfaz y''=fx+fy f. Para a terceira, definimos g(x,y)=y'' e usamos
y'''=gx+gy f,
onde
gx=fxx+fxyf+fy fx,
gy=fxy+fy^2

Passo 3

No ponto inicial x0=0, y0=1:
f0=y0x0^2-y0=-1, fx0=0, fy0=-1.
Logo
y''0=0+(-1)(-1)=1 e
y'''0=2+1cdot(-1)=1.
Aplicando Taylor:
y1=y0+h f0+h^22y''0+h^36y'''0=1-0.2+0.02+0.0013333approx0.8213333

Passo 4

Repetimos para n=1,2,3 com xn=0.2n:
  • n=1: x1=0.2, y1≈0.82133 f1≈-0.78848, fx1≈0.32853, fy1=-0.96 y''1≈1.08487, y'''1≈-0.02976
    y2≈0.685295.
  • n=2: x2=0.4, y2≈0.685295 f2≈-0.57565, fx2≈0.54824, fy2=-0.84 y''2≈1.03178, y'''2≈-0.41714
    y3≈0.590245.
  • n=3: x3=0.6, y3≈0.590245 f3≈-0.37776, fx3≈0.70829, fy3=-0.64 y''3≈0.94998, y'''3≈-0.33314
    y4≈0.533249.

Passo 5

Concluímos que a aproximação de y(0.8) pelo Método de Taylor de ordem 3 com passo h=0.2 é aproximadamente 0.53325.

Resposta

0.53325

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