Calcule a integral
integral0^2 integralx / 2^(x / 2)+1 x^5(2 y-x) e^2 y-x^2 d y d x
fazendo a mudança u=x, v=2 y-x.

Passo 1

Temos a integral
integral0^2 integralx/2^x/2+1 x^5(2y - x) e^2y - x^2 ,dy,dx,
e queremos simplificar usando a mudança de variáveis u = x e v = 2y - x. Esse exercício envolve integração dupla e cálculo de jacobiano.

Passo 2

Definimos
u = x, v = 2y - x
Invertemos para achar x e y:
x = u, y = v + u2
O jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v)= 1 & 0[6pt]1/2 & 1/2=12,
logo dx,dy=tfrac12,du,dv.

Passo 3

Agora traduzimos os limites. Como xin[0,2], temos uin[0,2]. Para cada x fixo,
quando y=x/2 v=0 e quando y=x/2+1 v=2. Então a região vira o retângulo
uin[0,2], vin[0,2].

Passo 4

Substituindo tudo na integral,
integral dupla x^5(2y - x)e^2y - x^2,dy,dx =integral dupla u^5,v,e^v - u^2cdot12,dv,du
Ou seja,
I=12integral0^2integral0^2u^5v,e^v - u^2,dv,du

Passo 5

Como o integrando separa em fatores de u e v, escrevemos
I=12l(integral0^2u^5e^-u^2,dur)l(integral0^2v e^v,dvr)
Para v:
integral0^2v e^v,dv=[(v-1)e^v]0^2=e^2+1

Passo 6

Para u: fazemos t=u^2,,dt=2u,du. Então
integral0^2u^5e^-u^2,du =12integral0^4t^2e^-t,dt =12l[2-26e^-4r] =1-13e^-4

Passo 7

Juntando tudo,
I=12,(e^2+1),(1-13e^-4)

Resposta

I=(e^2+1)(1-13e^-4)2.

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