integral duplaR sin (x-y)cos (x+y) d A
sendo R a região limitada por y=0, y=x, x+y=pi / 4.
[Dica: use uma mudança de coordenadas conveniente]
Assinale a alternativa correta.
b. 12[ln raiz2-pi4]

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla integral duplaR sin(x - y)cos(x + y),dA, onde a região R é dada por y=0, y=x e x+y=pi/4. Isso cai em Integrais Duplas com mudança de variáveis, e vamos usar as variáveis canônicas que simplifiquem x-y e x+y.

Passo 2

Vamos fazer a troca de variáveis
u = x - y, v = x + y Com isso a integranda sin(x-y)/cos(x+y) vira sinnu/cos v.

Passo 3

Precisamos do Jacobiano e da região em (nu,v). Da inversa:
x = nu+v2, y = v-nu2 O determinante é
detpartial(x,y)partial(nu,v) = 12
As fronteiras ficam:
  • y=0 v-nu=0 v=nu
  • y=x nu=0
  • x+y=pi/4 v=pi/4.
    Logo 0<=nu<= v<=pi/4.

Passo 4

A integral vira
integral duplaR sin(x-y)cos(x+y),dA = integralv=0^pi/4integralnu=0^v sinnucos v;12,dnu,dv
Integramos primeiro em nu:
integral0^v sinnu,dnu = 1 - cos v
Então a integral é
12 integral0^pi/4 1-cos vcos v,dv = 12 integral0^pi/4 (sec v - 1),dv

Passo 5

Agora calculamos:
integral (sec v - 1),dv = lnl|sec v + tan vr| - v
Aplicando de 0 a pi/4:
  • Em v=pi/4: sec v+tan v=raiz2+1, então ln(raiz2+1)-pi/4.
  • Em v=0: ln(1+0)-0=0.

Passo 6

Multiplicando por 1/2 e subtraindo, obtemos
12 l(ln(raiz2+1)-pi4r)

Passo 7

Portanto, o valor da integral é:

Resposta

12l[ln(raiz2+1)-tfracpi4r].

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