Calcule
integral-2^2|x+1| d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Esse problema envolve o conceito de função valor absoluto e integração definida.

Passo 2

Para resolver a integral de uma função com valor absoluto, é importante identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. No caso, temos x + 1 = 0 implies x = -1 . Vamos encontrar o valor de que faz :
Isso significa que a função muda de comportamento em .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes, separadas pelo ponto onde a expressão dentro do valor absoluto é zero ( ):
  1. De a
  2. De a

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo:
  1. De integral-2^-1 |x + 1| , dx = integral-2^-1 -(x + 1) , dx a integral-1^2 |x + 1| , dx = integral-1^2 (x + 1) , dx :
    Aqui, é negativo porque . Portanto, .
    A integral fica:
  2. De a :
    Aqui, é positivo porque . Portanto, .
    A integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Integral de integral-2^-1 -(x + 1) , dx = integral-2^-1 (-x - 1) , dx a integral (-x - 1) , dx = -12x^2 - x :
    [ -12(-1)^2 - (-1) ] - [ -12(-2)^2 - (-2) ] = (-12 + 1) - (-2 + 2) = 12
    Integrando termo a termo:
    integral-1^2 (x + 1) , dx
    Avaliando de integral (x + 1) , dx = 12x^2 + x a [ 12(2)^2 + 2 ] - [ 12(-1)^2 + (-1) ] = (2 + 2) - (12 - 1) = 4 - (-12) = 92 :
  2. Integral de a :
    Integrando termo a termo:
    Avaliando de a :

Resposta

Somando os dois resultados:
12 + 92 = 5
Portanto, o valor da integral é 5.

Exercícios relacionados