Calcule
integral1^2 1x^2 raizx-1x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral definida de de 1 a 2. Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral. Vamos definir . Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de , facilitando o cálculo.

Passo 3

Agora, vamos expressar u^2 = x - 1x implies u^2x = x - 1 implies x(u^2 - 1) = -1 implies x = 11 - u^2 em função de dx = ddu(11 - u^2) = 2u(1 - u^2)^2 du . Elevando ambos os lados ao quadrado:
Em seguida, vamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :

Passo 4

Substituímos integral1^2 1x^2 raizx-1x dx = integral0^1raiz2 1(11 - u^2)^2 cdot u cdot 2u(1 - u^2)^2 du e 1(11 - u^2)^2 = (1 - u^2)^2 na integral original:
integral0^1raiz2 (1 - u^2)^2 cdot u cdot 2u(1 - u^2)^2 du = integral0^1raiz2 2u^2 du
Simplificando a expressão:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, é só integrar integral 2u^2 du = 2 cdot u^33 = 2u^33 em relação a 2u^33 |0^1raiz2 = 2 (1raiz2)^33 - 0 = 2 cdot 12raiz23 = 13raiz2 :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral avaliada é:
raiz26

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