Calcule a integral.
integral tan ^2 x sec x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^2x,sec x,dx. Vamos usar conteúdo de identidades trigonométricas ( tan^2x+1=sec^2x) e integrais padrão de sec x e sec^3x.

Passo 2

Aplicamos a identidade tan^2x=sec^2x-1. Assim o integrando vira:
tan^2x,sec x=(sec^2x-1),sec x=sec^3x-sec x

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
integraltan^2x,sec x,dx=integralsec^3x,dx-integralsec x,dx

Passo 4

Agora usamos as antiderivadas conhecidas:
integralsec x,dx=lnl|sec x+tan xr|+C.
integralsec^3x,dx=tfrac12l(sec x,tan x+lnl|sec x+tan xr|r)+C.

Passo 5

Substituindo e simplificando:
integraltan^2x,sec x,dx=tfrac12l(sec x,tan x+ln|sec x+tan x|r)-ln|sec x+tan x|+C
Agrupando o logaritmo:
=tfrac12sec x,tan x-tfrac12lnl|sec x+tan xr|+C

Resposta

tfrac12sec x,tan x-tfrac12lnl|sec x+tan xr|+C

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