Calcule a integral.
integral0^pi / 4 tg^4 t sec ^2 t d t

Passo 1

Estamos lidando com a integral
integral0^pi/4 tan^4tsec^2t,dt
do conteúdo de substituição em integrais, onde precisamos reconhecer que sec^2t,dt é a derivada de tan t.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=tan t. Daí, por derivação, du=sec^2t,dt. Isso serve para reescrever tanto a parte tan^4t quanto sec^2t,dt em função de u.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração: quando t=0, u=tan0=0; e quando t=pi/4, u=tan(pi/4)=1. Assim a integral vira
integral0^1u^4,du.

Passo 4

Agora integramos u^4: a antiderivada é u^5/5. Avaliando de 0 a 1, temos
u^55|0^1=1^55-0^55=15

Resposta

1/5

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