Verifique a unicidade ou não da solução do seguintes PVI
ld yd x=x y^1 / 2 y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a solução do PVI
dydx=xraizy, y(0)=0
é única ou não. Aqui vamos usar teoria de unicidade (Picard–Lindelöf) e separação de variáveis.

Passo 2

A função que define a EDO é
f(x,y)=xraizy
Para aplicar o teorema de unicidade, precisaríamos de Lipschitz em y perto de y=0. Calculando a derivada parcial:
partial fpartial y(x,y)=x2raizy,
que diverge quando yto0^+. Logo não há garantia de unicidade pelo critério de Lipschitz.

Passo 3

Vamos encontrar soluções pela separação de variáveis. Supondo y>=0, escrevemos:
dyraizy=x,dx
Integrando ambos os lados:
integraldyraizy=integral x,dx
que leva a
2raizy=x^22+C

Passo 4

Isolando y obtemos:
raizy=x^24+C2,
y=l(x^24+C2r)^2
Impondo a condição inicial y(0)=0 C=0, resultando em
y(x)=x^416

Passo 5

Além dessa solução não trivial, a solução trivial y(x)equiv0 também satisfaz o PVI. Como existem pelo menos duas soluções diferentes que passam pelo mesmo ponto (0,0), concluímos que não há unicidade do PVI.

Resposta

O PVI não possui solução única: tanto y(x)equiv0 quanto y(x)=x^4/16 (e combinações em partes) satisfazem o problema.

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