Verifique a unicidade ou não da solução do seguintes PVI
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a solução do PVI
é única ou não. Aqui vamos usar teoria de unicidade (Picard–Lindelöf) e separação de variáveis.
Passo 2
A função que define a EDO é
Para aplicar o teorema de unicidade, precisaríamos de Lipschitz em
perto de
. Calculando a derivada parcial:
que diverge quando
. Logo não há garantia de unicidade pelo critério de Lipschitz.
Passo 3
Vamos encontrar soluções pela separação de variáveis. Supondo
, escrevemos:
Integrando ambos os lados:
que leva a
Passo 4
Isolando
obtemos:
Impondo a condição inicial
dá
, resultando em
Passo 5
Além dessa solução não trivial, a solução trivial
também satisfaz o PVI. Como existem pelo menos duas soluções diferentes que passam pelo mesmo ponto
, concluímos que não há unicidade do PVI.
Resposta
O PVI não possui solução única: tanto
quanto
(e combinações em partes) satisfazem o problema.